¿Por qué no hacemos un estudio algebraico de los objetos con más de dos operaciones?

Question

Estudiantes de pregrado a aprender acerca de los objetos algebraicos con una sola operación, es decir, los grupos, y aprender acerca de los objetos algebraicos con dos "compatible" operaciones, es decir, anillos y campos. Parece natural, a continuación, mirar algebraicas objetos con tres o más de las operaciones que son compatibles, pero no aprendemos acerca de ellos. Le pregunté a uno de mis profesores por qué esto es así y ella se plantea esta cuestión en respuesta: nos han dejado los módulos y el derecho de los módulos, pero no hay ninguna superior de los módulos o en la parte inferior de los módulos, o cualquier otras formas de combinar dos elementos para producir un tercero. No puedo pensar en ninguna respuesta satisfactoria a alguna de estas preguntas. ¿Alguien puede arrojar alguna luz sobre ellos?

Edit: Ahora que sé que estos objetos son estudiados, lo que quiere decir "nosotros" es, esencialmente, "¿por Qué son estos objetos no se presentó a los estudiantes de pregrado (al menos en un plan de estudios estándar) dada la forma natural parecen?"

Answer 1

Si bien es cierto que algebraicas estructuras basadas en operaciones binarias son muy comunes, otras estructuras existen, están siendo estudiados, y son muy importantes. Los ejemplos incluyen:

• $A_\infty $-espacios, donde homotopy consideraciones mandato no sólo una operación binaria, pero un $n$-ary las operaciones para todos los $n\in \mathbb N$.

• Malcev operaciones, son ejemplos de estructuras basadas en el ternario de las operaciones.

• operads también ha $n$-ary operaciones.

Para muchas de las estructuras por encima de cosas como los módulos y acciones sentido, y a sí mismos implican $n$-ary operaciones.

Así, los matemáticos no duda de estudio de estas estructuras. Tal vez la razón por la que no se introdujo en el nivel de licenciatura es que estas estructuras son más complicados que los basados en las operaciones binarias.

Como para el comentario realizado por su profesor, no puedo pensar de muchas maneras elementos se pueden combinar para dar un nuevo elemento, así que realmente no sé lo que significa eso.

Y, ya te estás preguntando si tal $n$-ary basado en estructuras algebraicas son demasiado complicados para los estudiantes de pregrado, sólo voy a mencionar que de los tres se menciono anteriormente, $A_\infty $ - espacio son bastante complicadas, pero Malcev operaciones y operads no lo son. Operads vienen en muchos sabores, y si se considera lo que se conoce como color plano no enriquecido operads (probablemente el tipo más simple de operad), esta es una estructura que puede ser entendido por un estudiante de primer año (y esto es realmente una clase importante de operads, así que no es sólo un juguete estructura algebraica). La razón por la que estas estructuras no se presentó temprano tiene que ver más con el hecho de que el currículo de la universidad y los libros de texto cambian y se adaptan muy lentamente. Muy raramente reflejan las tendencias actuales. En 100 años es probable que operads va a primer año o segundo año, los libros de texto, como los grupos de hoy en día.

Y mientras que sobre el tema, se debe considerar también estructuras algebraicas con las operaciones de infinito arity. Estos también existen y proporcionar sorprendentes ejemplos. Por ejemplo, es la clásica resultado de que la categoría de compactos de Hausdorff espacios es algebraica, y que significa que la categoría puede ser pensado como un conjunto de estructuras algebraicas con las operaciones de arity $\infty $. Otros ejemplos importantes incluyen completar celosías.

Answer 2

Una razón por la que de mayor arity operaciones son menos común es que siempre puede ser sustituido por composiciones de binario operaciones. Durante la década de 1930 y 1940 Sierpinski investigado composiciones de operaciones ("clones") y demostró que cada $n$-ary operación en un conjunto es finito, la composición de las operaciones binarias en el conjunto, véase W. Sierpinski, Sur les fonctions de plusieurs variables, Fondo. De matemáticas. 33 (1945), 169-173.

Una prueba de ello es especialmente sencillo para las operaciones sobre un conjunto finito $\rm\:A\:.\:$ es decir, si $\rm\:|A| = n\:$, entonces podemos codificar $\rm\:A\:$ $\rm\:\mathbb Z/n\:,\:$ el anillo de enteros $\rm\:mod\ n\:,\:$ lo que nos permite emplear la interpolación de Lagrange para representar cualquier finitary operación como de un número finito de la composición de las operaciones binarias $\rm\: +,\ *\:,\:$ $\rm\: \delta(a,b) = 1\ if\ a=b\ else\ 0\:,\:$ es decir

$$\rm f(x_1,\ldots,x_n)\ = \sum_{(a_1,\ldots,a_n)\ \in\ A^n}\ f(a_1,\ldots,a_n)\ \prod_{i\ =\ 1}^n\ \delta(x_i,a_i) $$

Al $\rm\:|A|\:$ es infinito en su lugar puede proceder mediante el empleo de funciones de emparejamiento $\rm\:A^2\to A\:.$

Para más información y referencias de ver esta respuesta.

Answer 3

Tenemos que hacer. Por ejemplo, el diferencial de campos (campos equipado con una derivación) y exponencial campos (campos equipado con una exponenciación).

Answer 4

La razón por la que sólo hay "izquierda" y "derecha" módulos tiene que ver con el hecho de que la operación de las leyes de los involucrados son operaciones binarias. Ya que en solo dos entradas, hay dos maneras posibles para que las operaciones a realizar.

Aquí es a lo que me refiero: a la izquierda $R$ módulo es uno para el cual la acción de la $R$ $M$ es biadditive, y, además,$(rs)m=r(sm)$. A la izquierda $R$ módulo es uno para el cual la acción de la $R$ $M$ es biadditive, y, además,$(sr)m=r(sm)$. Ahora, lo último que he escrito es casi siempre sugestivamente escrito en el otro lado como $m(sr)=(ms)r$, pero estoy escribiendo en el lado izquierdo para resaltar que no importa de qué lado se escribe, lo que importa es el orden de las dos operaciones $r$$s$. No se puede combinar $r$ $s$ más que estas dos formas (con $R$'s de la multiplicación).

Answer 5

Como es claro a partir de ahora los demás agradable respuestas, hacemos el estudio de las cosas, con más de tres operaciones binarias. Especialmente si usted está interesado en la física o la geometría simpléctica: álgebras de Poisson (wikipedia tiene una página). Estos son álgebras (así vienen de inmediato con la adición y multiplicación), que simultáneamente se álgebras de Lie (por lo que tienen una tercera operación binaria, generalmente por escrito $\{a,b\}$, y llamó el corchete de Poisson), de manera compatible: para cada elemento $a$ el álgebra, el corchete de Poisson $\{a,\cdot\}$ define una derivación de la subyacente estructura de álgebra.

Probablemente la fuente más importante de ejemplos proviene de la geometría simpléctica: dado un simpléctica colector, su estructura gavilla es una gavilla de Poisson álgebras.

La única razón por la que tales cosas no son (por lo general) se discutió en la licenciatura de matemáticas es la inercia. Que deberían ser.