Katok ' grupos de Fuchsian s: acción correctamente discontinua - hipótesis de isometries homeomorphisms vs

Question

Quiero entender Katok del Fuchsian grupos (página 28) prueba del teorema:

Teorema 2.2.1: $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ si y sólo si cada punto de $x\in X$ tiene un vecindario $V$ tal que $T(V)\cap V\neq \emptyset$ por sólo un número finito de $T\in G$.

Para ella, $X$ es un espacio métrico y $G$ es un grupo de homeomorphisms de $X$, no necesariamente isometrías. Justo antes de este teorema, comenta que $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ si, y sólo si, cada una de las $G$-órbita, es decir,$G(x)=\{g(x)\in X\,|\,g\in G\}$, es un subconjunto discreto de $X$ y el estabilizador, es decir,$G_x=\{g\in G\,|\,g(x)=x\}$, de cada punto de $x\in X$ es finito. Este hecho está bien, he podido demostrar que, considerando $G$ como un grupo de homeomorphisms.

Echemos un vistazo a Katok la prueba del teorema 2.2.1:

Prueba: Supongamos $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$, entonces cada una de las $G(x)$ es discreto, y para cada punto de $x\in X$, $G_x$ es finito. Esto implica que para cualquier punto de $x$ existe una bola de $B_\epsilon(x)$ centrada en $x$ radio $\epsilon$ que no contiene puntos de a $G(x)$ otros de $x$. Deje $V\subset B_{\epsilon/2}(x)$ ser un barrio de $x$, $\underline{\textbf{then $T(V)\cap V\neq \emptyset$ implies that $T\en G_x$}}$, por lo tanto, es posible que sólo un número finito de $T\in G$. [...]

Yo no podía ver por qué $T$ debe ser en $G_x$. De hecho, algunos de los dibujos comencé a dudar de la validez de esta afirmación (desde $T$ es sólo un homeomorphism, puede distorsionar la métrica y la "fusión" de toda la figura, círculos, etc). Aunque, si $G$ es un grupo de isometrías, la prueba de este hecho es fácil...

Así que esta es mi pregunta: ¿es suficiente $G$ a ser un grupo de homeomorphisms con el fin de garantizar el Teorema 2.2.1 o es necesario para que sea un grupo de isometrías en su lugar?

He visto algunas preguntas similares en el sitio, pero quiero saber si el homeomorphism hipótesis es o no suficiente para lograr el resultado... Esto no es claro para mí todavía.

Edit: Si, además de la homeomorphism hipótesis, $G$ es también equicontinuous, a continuación, $G$ actúa correctamente descontinuously si, y sólo si, existe una vecindad $V$. Pero es necesario exigir a esto? ¿Cuál es el conjunto mínimo de la hipótesis de que tengo que añadir para tener el teorema?

Edit 2: Un grupo de isometrías es, por supuesto, (uniformemente) equicontinuous.

Edit 3: Definición:(Katok a la definición propiamente discontinua acción) decimos que un grupo de $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$ si $G$-órbita de cualquier punto de $x\in X$ es localmente finito.

Esto significa que, para cualquier conjunto compacto $K\subset X$ la intersección $G(x)\cap K$ es finito, y esto vale para todos los $x\in X$.

Answer 1

Voy a asumir que $X$ satisface la T1 condición (cada punto es cerrado). Si usted está interesado en obtener más general de los espacios, me gustaría escuchar una explicación de por qué.

Considere las siguientes tres condiciones:

D1: Katok adecuada de la discontinuidad condición: Punto-estabilizadores son finitos, y para cada compacto $K\subset X$ cada $x\in X$, la $\{g\in G: gx\in K\}$ es finito.

D2. Punto-estabilizadores son finitos y cada una de las $G$-órbita en $X$ es discreto y cerrado, es decir, no tiene la acumulación de puntos.

D3. Para cada una de las $y\in X$ hay un barrio $U=U_y$ tal que $\{g\in G: gU\cap U\ne\emptyset\}$ es finito.

Proposición 1. D3$\Rightarrow$D2. (Esta implicación está probada también en esta cuestión, donde se explica también por qué la T1 condición es necesaria).

Prueba. Supongamos que algunos de los $G$-órbita $Gx\subset X$ se acumula en un punto de $y\in X$: Desde $X$ es T1, hay infinitamente muchos elementos $g_i\in G$ tal que $x_i=g_ix\in U$ por cada vecindario $U$$y$. Deje $U=U_y$ ser un barrio de $y$ como en D3. Luego, mirando a los elementos de la forma $h_{ij}=g_i g_j^{-1}\in G$ vemos que $g_{ij}U\cap U\ne\emptyset$ ($h_{ij}$ mapas de $x_j$$x_i$). Una contradicción. qed

Proposición 2. D2$\Rightarrow$D1.

Prueba. Considere la posibilidad de un compacto $K\subset X, x\in X$ y el subconjunto $K_x:= K\cap Gx$. A continuación, $K_x$ es un discreto subespacio cerrado de un espacio compacto. Pero cada discretos subespacio cerrado de un espacio compacto es finito. Por lo tanto, D1 de la siguiente manera. qed

Proposición 3. Si usted asume, además, que el $X$ es localmente compacto, o el 1er contables, o que $G$ es contable, entonces D1$\Rightarrow$D2.

Prueba. Voy a probarlo suponiendo que $X$ es el 1er contables sólo. Supongamos que $Gx$ se acumula en un punto de $y\in X$. Entonces, desde el $X$ es el 1er contables, no es una secuencia infinita $g_n\in G$, de tal manera que $g_nx$ converge a algunos $y\in X$. El subconjunto $K:= \{y\}\cup \{g_nx: n\in {\mathbb N}\}$ es compacto y $g_nx\in K$ todos los $n$. Esto contradice D1. qed

Proposición 4. D2 no implica D3 incluso para cíclico grupos de homeomorphisms de las superficies.

Prueba. Considerar el "ejemplo" (como en el enlace que me dio anteriormente). Es decir, vamos a $g: (x,y)\mapsto (2x, y/2)$ ser lineal mapa del avión real como en el ejemplo; vamos a $G$ ser el grupo cíclico generado por $g$. Restringir el $G$-acción para el subconjunto $Q\subset {\mathbb R}^2$, que es la primera coordenada cuadrante $x\ge 0, y\ge 0$ con el origen eliminado. Claramente, todas las órbitas de la $G$-acción en $Q$ son discretos y punto-estabilizadores son triviales. Ahora, forma el cociente de $Q$ por la relación de equivalencia $$ (x,0)\sim (0, 1/y). $$ Este cociente $A$ es homeomórficos para el perforado de avión. El mapa de $(x,0)\mapsto (0, 1/y)$ $G$- equivariant, por lo tanto, el $G$-acción en $Q$ desciende a un $G$-acción en $A$. De nuevo, es claro que el punto estabilizadores de las $G$-acción en $A$ son triviales y las órbitas son discretos. Sin embargo, para cada punto de $p\in A$ que es la proyección de algunos de los $(x,0)\in Q$, y cada uno de los vecindarios $U$$p$, el subconjunto $\{g\in G: gU\cap U\ne \emptyset\}$ es infinito (por la misma razón que el $G$-acción en $Q$ no es correcto en el sentido convencional). qed

Por último, realmente no me gustan Katok la definición adecuada de la discontinuidad. No es lo suficientemente fuerte como para garantizar que $X/G$ es Hausdorff (al $X$ es Hausdorff); sospecho que no es aún lo suficientemente fuerte como para implicar que $X/\Gamma$ es T1 (sin extra supuestos, como en la Proposición 3).