Yo lo haría de la siguiente manera.
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(7n+32)(3^n)}{n(n+2)(4^n)}}= 7\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+2}{\left(\frac34\right)}^n} + 32\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n(n+2)}{\left(\frac34\right)}^n}$$
Ahora, tenemos que
$$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+2}{\left(\frac34\right)}^n}= {\left(\frac34\right)}^{-2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n+2}{\left(\frac34\right)}^{n+2}}\\ ={\left(\frac34\right)}^{-2}\cdot\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}{\left(\frac34\right)}^{n}}$$
Ahora, para $|r|<1$ tenemos que
$${(1-r)}^{-1}=\sum_{n\geq0}r^n,$$
de modo que integrando ambos lados por $r$ produce
$$-\ln(1-r)=\sum_{n\geq0}\frac1{n+1}r^{n+1}=\sum_{n\geq1}\frac1nr^n.$$
De ello se deduce que
$$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}{\left(\frac34\right)}^{n}}=-\ln\left(1-\frac34\right)-\frac34=2\ln(2)-\frac34.$$
Por último, utilizamos una descomposición de fracción parcial en $\frac1{n(n+2)}=\frac12\frac1n-\frac12\frac1{n+2}$ y esto divide la serie final en dos series que se pueden resolver como la que acabamos de hacer. ¿Crees que puedes terminarlo?
EDITAR: Bueno, me acabo de dar cuenta de que en su pregunta inicial hay una división por $0$ en el $n=0$ término, pero esto no debería cambiar tu enfoque para resolver la pregunta. Suponiendo que la suma se realice para $n\geq1$ debe obtener $\frac{33}2$ al final.
