Cada subsequence de $x_n$ tiene un subsequence más que converge a $x$. Entonces la secuencia $x_n$ converge a $x$.

Question

¿Es de que los siguientes es verdadero?
Que $x_n$ ser una secuencia con la siguiente propiedad: cada subsequence de $x_n$ tiene un subsequence más que converge a $x$. Entonces la secuencia $x_n$ converge a $x$.

Supongo que es cierto pero no sé cómo comprobarlo.

Answer 1

True. Si no es así, existe un $\epsilon > 0$, tales que para todos los $k$, existe una $n_k > k$satisfacción $|x_{n_k}−x| \ge \epsilon$ desde si hay un $k$ que no tiene tal $n_k$, entonces podemos tomarlo como $N$, por lo que converge la $x_n$ $x$. El subsequence $x_{n_{k}}$ no tiene cualquier subsequence convergente a $x$.