¿Divergencia de $ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ a través de la prueba de comparación?

Question

He mostrado que diverge a través de la prueba integral, pero tengo curiosidad sobre cómo se mostrarán usando la prueba de comparación. No puedo utilizar serie armónica porque es menor que él. ¿Tuve una idea: serie armónica puede ser comparada con $1 + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8})$ para mostrar que aleja, tal vez algo similar se puede hacer en este caso?

Edición: uso de condesnation de Cauchy:

$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2^n}{2^n \log 2^n} \rightarrow \frac{1}{\log 2} \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n}$, que es la serie armónica excepto $n = 1$, por lo que la serie diverge.

Answer 1

Mediante condensación de Cauchy, si $\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{2^n}{2^n \log 2^n}$ converge o diverge, entonces el mismo debe ser cierto de mi serie deseada.

Esta serie es igual a $\frac{1}{\log 2} \displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n}$, la serie armónica, así diverge, y también lo hace mi serie deseada.

El aspecto de la comparación de esta serie es inherente a la prueba de condensación de Cauchy. En particular, condensación de Cauchy basa en el hecho de que $\sum f(n) \leq \sum 2^n f(2^n) \leq 2 \sum f(n)$.