Demostrando que si $n$ es impar y $\gcd(m, n) = 1$ entonces $\gcd(2m + n, 2n) = 1$

Question

He estado tratando de descifrar esto durante el último tiempo. He intentado algunos enfoques, pero ninguno ha dado frutos.

Dejemos que $n > 0$ sea un número entero impar. Demostrar que si $\gcd(m, n) = 1$ entonces $\gcd(2m + n, 2n) = 1$ .

Answer 1

Como tenemos que $(m,n)=1$ Hay $x,y$ para que $$ mx+ny=1\tag{1} $$ Entonces, $$ \begin{align} (\color{#C00000}{2m+n})2x+\color{#C00000}{2n}(2y-x)&=\color{#00A000}{4}\\ (\color{#C00000}{2m+n})n-\color{#C00000}{2n}m&=\color{#00A000}{n^2} \end{align}\tag{2} $$ Desde $n$ es impar, hay $w,z$ para que $$ 2w+nz=1\tag{3} $$ Cuadrando $(3)$ da $$ \color{#00A000}{4}(w^2+wnz)+\color{#00A000}{n^2}z^2=\color{#0000FF}{1}\tag{4} $$ Combinando $(2)$ y $(4)$ obtenemos una combinación integral de $\color{#C00000}{2m+n}$ y $\color{#C00000}{2n}$ que es igual a $\color{#0000FF}{1}$ : $$ (\color{#C00000}{2m+n})\left(2x(w^2+wnz)+nz^2\right)+\color{#C00000}{2n}\left((2y-x)(w^2+wnz)-mz^2\right)=\color{#0000FF}{1}\tag{5} $$ Por lo tanto, $(\color{#C00000}{2m+n},\color{#C00000}{2n})=\color{#0000FF}{1}$ .

Answer 2

Se puede deducir fácilmente que $d(=gcd(2m+n,2n))$ será impar porque si no lo es entonces $2|(2m+n) \Rightarrow 2|n$ lo cual no es cierto.
Ahora ( $d|2n \Rightarrow d|n$ y $d|(2m+n) \Rightarrow d|m$ ) $\Rightarrow d|gcd(m,n)\Rightarrow d|1\Rightarrow d=1$

Answer 3

Sugerencia : Supongamos que $k\mid 2n,2m+n$ . Podría $k$ ¿está a mano? ¿Qué puedes deducir?

Answer 4

D | 2m + n (esto es impar), d | 2n (esto es par).

Por tanto, d = 1.

Justificación:

$$d = p_1^{\alpha_1} * ... * p_n^{\alpha_n}$$

$d | 2n$ wlog podemos suponer $p_1 = 2$ . Por lo tanto, se deduce que $d = 2^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} * ... p_n^{\alpha_n}$ .

$$d | 2m + n = 2m + 2k + 1 = 2(m + k) + 1 (odd)$$

Por lo tanto d no tiene ningún factor de 2. Se deduce que:

$$\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0$$

De ahí que tengamos nuestro resultado d = 1.