Aquí está una ligera generalización de la sección correspondiente en Vámos' de papel.
Lema: Vamos a $F \subseteq E$ ser una extensión de campo y $A,B$ dos $E$-álgebras $\neq 0$. Si no es estrictamente ascendente de la cadena de intermedios campos entre el$F$$E$, $A \otimes_F B$ no es Noetherian.
Prueba: Supongamos $\{F_n\}$ ser estrictamente ascendente de la cadena de intermedios campos entre el$F$$F'$. Para cada $n \leq m$ tenemos un diagrama conmutativo
$$\begin{array}{c} & A \otimes_F B & \\ & \swarrow ~~~~~~~ \searrow \\ A \otimes_{F_n} B & \rightarrow & A \otimes_{F_m} B. \end{array}$$
Por lo tanto, si $I_n$ indica que el núcleo de $A \otimes_F B \to A \otimes_{F_n} B$, podemos ver que $\{I_n\}$ es ascendente de la cadena de ideales. Es estrictamente ascendente: Elija $f \in F_{n+1} \setminus F_n$. A continuación,$f \otimes 1 - 1 \otimes f \in I_{n+1}$, pero no $\in I_n$ desde $f \otimes 1 \neq 1 \otimes f$ $A \otimes_{F_n} B$ desde $\{1,f\}$ $F_n$- linealmente independientes en $A$ resp. $B$. $\square$
Corolario: Vamos a $K,L$ ser la extensión de los campos de $F$ tal que $\mathrm{tr.deg}_F(K)$ $\mathrm{tr.deg}_F(L)$ son infinitas. A continuación, $K \otimes_F L$ no es Noetherian.
Prueba. Deje $E$ ser una función racional de campo de más de $F$ en countably muchas variables. A continuación, $E$ incrusta en $K$$L$, y no es estrictamente ascendente de la cadena de intermedios campos entre el$F$$E$. Así, el Lema se aplica. $\square$
