La ley de Faraday: ¿pecado y cos?

Question

Estoy viendo este documento (Hanna S. A., Varhue W. J. y Titcomb S., IEEE Trans. on Instrumentaion and Measurement, Vol. 58, No. 1, 2009). Afirman que la tensión generada en un bucle de $N$ vueltas y diámetro $d$ cuando se coloca en un campo magnético que varía en el tiempo es:

$V\propto B_0j\omega e^{j\omega t}$

donde $j$ es la unidad imaginaria. ¿Es esto correcto? Específicamente, pensé que:

$V\propto B_0\omega \cos{\omega t}$ .

No sé cómo tenían un campo magnético con $\cos$ y $\sin$ términos, es decir $e^{j\omega t}$ .

Answer 1

Normalmente, cuando algo varía armónicamente en el tiempo (es decir, como $\sin \omega t$ o $\cos \omega t$ ), lo escribimos con un exponencial complejo, porque es más fácil de trabajar. Supongamos que tenemos una señal (real) $V(t) = V_0 \cos (\omega t + \delta)$ . Podemos escribir como $V(t) = V_0 e^{i(\omega t + \delta)} = V_0 e^{i\delta} e^{i\omega t} = \hat{V_0} e^{i \omega t}$ , donde $\hat{V_0} = V_0 e^{i\delta}$ es una constante compleja; tiene que ser compleja para permitir la posibilidad de una fase.

Cuando escribimos cosas así, se entiende que la cantidad física real es la parte real de la expresión compleja. Esto no es un problema, ya que la mayoría de las operaciones que realizamos con las señales (como la suma, la multiplicación por constantes, la diferenciación, la integración, la transformada de Fourier, etc.) son lineales, por lo que da igual si se toma primero la parte real y luego se aplica la operación o se hace al revés. La única excepción es cuando se multiplican cantidades complejas, ya que la parte real de un producto no es el producto de las partes reales.

En cuanto a tu pregunta en los comentarios, la razón por la que la magnitud es constante es que la parte dependiente del tiempo de $V$ es $e^{i\omega t}$ que tiene una magnitud igual a uno, por lo que $|V(t)| = |V_0|$ que es simplemente la amplitud de la señal.