Números enteros de Eisenstein y aplicaciones a las ecuaciones diofánticas

Question

Resolver la ecuación $7\times 13\times 19=a^2-ab+b^2$ $a>b>0$ de números enteros. ¿Cuántos hay tales soluciones $(a,b)$?

Sé que $a^2-ab+b^2$ es la norma del Eisentein entero $z=a+b\omega$, pero ¿cómo puedo hacer uso de ello? Muchas gracias.

Answer 1

Es conocido que los enteros de Eisenstein $\mathbb{Z}[\omega]$ es una única factorización de dominio y cuenta con seis unidades $$\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2$$ Más de $\mathbb{Z}[\omega]$, los números de $7, 13, 19$ factorizar en sus factores primos como $$\begin{cases} 7 &= (3 + \omega)(3 + \omega^2)\\ 13 &= (4 + \omega)(4 + \omega^2)\\ 19 &= (5 + 2\omega)(5 + 2\omega^2) \end{casos}$$ Esto significa que si queremos factorizar $1729 = 7 \times 13 \times 19$ $\mathbb{Z}[\omega]$ $$1729 = ( x + y\omega )(x + y\omega^2) = x^2 - xy + y^2 \quad x, y \in \mathbb{Z} $$ el correspondiente factor de $x + y\omega$ debe tener la forma

$$x + y\omega = u a B C\quad\text{ con }\quad \begin{cases} A &= 3 + \omega &\text{or}& 3 + \omega^2\\ B &= 4 + \omega &\text{or}& 4 + \omega^2\\ C &= 5 + 2\omega &\text{or}& 5 + 2\omega^2 \end{casos} $$ y $u$ es uno de los mayores de seis unidades.

Hay 8 opciones posibles de $A,B,C$. Para cada opción de $A,B,C$, multiplicar por una de las seis unidades que permiten obtener un par de $x,y$ que satisface $x \ge y \ge 0$:

• $ABC = (3+\omega)(4+\omega)(5+2\omega) = 43+40\omega$.
• $ABC = (3+\omega)(4+\omega)(5+2\omega^2) = 45+8\omega$.
• $ABC = (3+\omega)(4+\omega^2)(5+2\omega) = 48+23\omega$.
• $ABC = (3+\omega)(4+\omega^2)(5+2\omega^2) = 32-15\omega \implies -\omega^2 ABC = (47+32\omega)$
• $ABC = (3+\omega^2)(4+\omega)(5+2\omega) = 47+15\omega$.
• $ABC = (3+\omega^2)(4+\omega)(5+2\omega^2) = 25-23\omega \implies -\omega^2 ABC = 48+25\omega$
• $ABC = (3+\omega^2)(4+\omega^2)(5+2\omega) = 37-8\omega \implies -\omega^2 ABC = 45+37\omega$
• $ABC = (3+\omega^2)(4+\omega^2)(5+2\omega^2) = 3-40\omega \implica -\omega^2 ABC = 43+3\omega$

Como resultado, hay $8$ pares de $(a,b)$ que resuelve el problema original:

$$(a,b) = (43, 3), (43,40), (45, 8), (45, 37), (47, 15), (47,32), (48,23), (48,25)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $N(a+b\omega)=a^2-ab+b^2$ es la suma de cuadrados, porque $$ a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}((2a-b)^2+3b^2). $$ Por lo tanto, debemos resolver la ecuación de $(2a-b)^2+3b^2=4\cdot 7\cdot 13\cdot 19=6916$, que es sencillo, ya que solo tenemos que probar unos enteros $a,b \in \mathbb{N}$. En particular, $3b^2\le 6916$, que $b<49$. Del mismo modo, $(2a-b)^2\le 6916$ da $a< 66$. Nos encontramos, que concede las soluciones del número entero con $b>a>0$ $$(a,b) = (43, 3), (43,40), (45, 8), (45, 37), (47, 15), (47,32), (48,23), (48,25)$ $

Answer 3

Trazado $7 \times 13 \times 19 = a^2 − ab + b^2$, obtendrá una elipse como este:

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Pero si aplicamos la condición $a$ & $b > 0$, ambos será positivo sólo en el primer Cuadrante. Y, de nuevo,$a > b$, vamos a terminar con la mitad de la elipse en el Cuadrante 1 es decir, 1/8 del total de la elipse.

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Conjunto de todos los puntos de esta curva es nuestra solución. Número infinito de soluciones Reales.

A continuación se entero de soluciones:

(43,3), (43,40), (45,8), (45,37), (47,15),(47,32),(48,23),(48,25)