Hilbert $C^*$-módulos y unidades aproximadamente

Question

Hola,

¿Dado un $\sigma$-unital $C^*$-álgebra $A$ y un completo Hilbert $A$-módulo $E$, es posible encontrar una unidad aproximada $ \{\epsilon_i\}, i\in I$ $A$ tal que cada $\epsilon_i$ es de la forma $< e_i,e_i>_A$, donde $e_i \in E, \forall i\in I$? Si no, ¿cuáles son las condiciones en $E$ y $A$ para que esto sería posible?

Gracias de antemano.

Answer 1

No, no siempre hay un aproximado de la unidad. (Esto será más fácil de formular en términos de izquierda módulos, y con interior de productos lineal en la primera entrada. La advertencia parece necesario debido a que la convención común en C*-módulo de teoría para hacer lo contrario.)

Ejemplo

Deje $A=B(\mathbb{C}^2)$ (lineal operadores), $E=\mathbb{C}^2$, con el módulo de acción dado por operadores que actúan sobre vectores (a la izquierda) y el $A$valores interior producto de $x$$y$$E$$<x,y>_A(z)=<z,y>_\mathbb{C}x$. A continuación, $<x,y>_A$ tiene rango en la mayoría de uno para todos"$x$$y$, así que no hay tal aproximado de identidad existe. $\square$

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Cualquier finito dimensional espacio de Hilbert con la dimensión de al menos 2 daría una ligera modificación de este ejemplo. O, vamos a $E=H$ ser un separables, de infinitas dimensiones espacio de Hilbert, y deje $A=\mathcal{K}(H)$ ser el álgebra de operadores compactos en $H$. (Añadido: tenga en cuenta que la plenitud de la siguiente manera por el hecho de que el lapso de la gama del producto interior es el conjunto finito de rango operadores.) O bien, dada una C*-álgebra $B$, uno podría formulario de $H_B=B\oplus B\oplus\ldots$ con su habitual derecha $B$-módulo de estructura y considerar el análogo de la construcción con $A=\mathcal{K}(H_B)$$E=H_B$. Si $B$ $\sigma$- unital, entonces también lo es $A$, pero no habrá aproximado de identidad de la forma deseada.

Yo no tengo nada útil que decir acerca de la formulación de las condiciones suficientes para un aproximado de identidad de existir, pero este simple ejemplo muestra que la falta de existencia es común.

Answer 2

No bien lo pensé, pero me parece que para contable generado módulos que sigue a una respuesta positiva de Proposición 1.6 en http://arxiv.org/abs/math/0301259