$\mathbb{CP}^1$ Los paquetes de formas foliaciones y antiholomorphic son iguales al $\mathcal{O}(-2)$ y $\mathcal{O}(2)$ respectivamente. Hacer los paquetes de foliaciones y antiholomorphic $\mathbb{CP}^2$ (o hecho) $\mathbb{CP}^n$) tiene una descripción en términos de paquetes de línea. ¿Qué sucede en el entorno de Grassmannian?
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Greg excelente respuesta da la impresión de que la computación clases de Chern on proyectiva del espacio requiere de un sistema de álgebra computacional. Estoy escribiendo para repell esta impresión. El cohomology anillo de $\mathbb{P}^{n-1}$ $\mathbb{Z}[h]/h^n$ donde $h$ es de Poincaré doble a la clase de un hyperplane. Tenemos la secuencia exacta corta
$$0 \to S \to \mathbb{C}^n \to Q \to 0$$,
donde $S$ es el tautológica de la línea de lote, cuya fibra por encima de un punto de $\mathbb{P}^{n-1}$ es la línea correspondiente en $\mathbb{C}^n$. La línea bundle $S$ es también llamado $\mathcal{O}(-1)$, y tiene clase de Chern $1-h$. Por lo $$c(Q) = 1/(1-h) = 1+h+h^2 + \cdots h^{n-1}.$$
Como Greg explicó, la tangente paquete es $\mathrm{Hom}(S, Q) = S^{\star} \otimes Q$. La fórmula para la clase de Chern de un tensor general del producto es doloroso para su uso en la práctica, pero podemos eludir que aquí por tensoring la anterior secuencia exacta por $S^{\star}$.
$$0 \to \mathbb{C} \to (S^{\star})^{\oplus n} \to T_{\mathbb{P}^{n-1}} \to 0$$,
Así que la clase de Chern de la tangente paquete a $\mathbb{P}^{n-1}$ es $$(1+h)^n = 1 + n h + \binom{n}{2} h + \cdots + n h^{n-1}.$$
Sí, yo deliberadamente terminó la suma de un período temprano. Recuerde que $h^n$$0$.
Como Greg dice que, si esto se puede expresar como una suma directa de1 de la línea de paquetes, entonces esto debe ser un producto de la $n-1$ lineal formas, $c(T) = \prod_{i=1}^{n-1} (1+ a_i h)$. Dado que esta es una igualdad de polinomios de grado $n-1$, nos podemos olvidar de que estamos trabajando modulo $h^n$ y sólo comprobar si el honesto polinomio $f(x) := 1 + n x + \binom{n}{2} x + \cdots + n x^{n-1}$ factores de esta manera.
La respuesta es no, excepto cuando se $n=2$ (en el caso de $\mathbb{P}^1$.) La única factorización de $f(x)$ es $$\prod_{\omega^n=1,\ \omega \neq 1} (1+x (1-\omega)).$$
Por lo tanto plantea una pregunta interesante. Al $n$ es incluso, $(1+2x)$ divide $f(x)$. Esto sugiere que la $\mathcal{O}(2)$ podría ser un subquotient de $T_{\mathbb{P}^{n-1}}$. Yo no puedo averiguar si es o no sucede.
El caso de Grassmannians va a ser peor por tres razones. Los dos menores son que (1) es posible que, honestamente, tienen que usar la fórmula para la clase de chern de un producto tensor. y (2) los polinomios en cuestión será multivariante de polinomios. El gran problema va a ser que $H^{\star}(G(k,n))$ tiene relaciones en el grado inferior $\dim G(k,n)+1$, de modo que no se puede extraer el truco de olvidar que $h^n=0$ y el trabajo honesto con polinomios.
Sospecho que la pregunta era más que "dar una buena descripción de la tangente paquete a la Grassmannian" que "puede que la tangente bundle ser expresada como una suma directa de línea de haces?". Si usted seriamente la atención sobre esto último, te voy a dar más piensa.
1 suma Directa es lo primero que se pide en las categorías de lisa, o topológico, vector complejo paquetes. Si te gusta la algebraicas o holomorphic categorías, como yo, es más natural para pedir la propiedad más débil que hay una filtración del vector paquete, cuyos coeficientes son de la línea de paquetes.
Schof
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En la terminología de Bott y Tu en "formas Diferenciales en topología algebraica", Un colector con un vector paquete de la división en una suma de la línea de paquetes se llama una división múltiple. Dado un vector paquete, que se puede asociar a un (completa) indicador de paquete, y la retirada de el vector paquete para este indicador paquete se divide en una suma directa de línea de paquetes. Este es el llamado "principio de separación". Si uno considera que un espacio vectorial es un vector paquete de más de un punto, se obtiene que la bandera del colector de sí mismo es una división del colector y su tangente paquete se divide ito una suma de la línea de paquetes, y su total de Chern de clase es un producto de las clases de Chern de la línea de paquetes. El CP1 ejemplo es el caso más simple de este principio. El punto principal aquí es que la bandera del colector debe ser completa. Por lo tanto, parcial bandera de colectores como el Pcn, n>1 y el Grassmannian no están divididos los colectores.
John Topley
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Voy a empezar con la segunda pregunta primero. Tu pregunta es para describir la tangente y la cotangente paquetes de espacios proyectivos o un Grassmannian, y su exterior poderes. El Grassmannian $\text{Gr}(k,n)$ es también el Grassmannian $\text{Gr}(n-k,n)$, por lo que se podría decir que tiene dos tautológica paquetes de $A$$B$, de dimensión$k$$n-k$. Su suma directa es una $n$-dimensiones trivial paquete. Mi intuición a partir de la geometría es que la tangente paquete es $\text{Hom}(A,B)$. También se puede escribir esta como $A^* \otimes B$.
Ahora supongamos que $k=1$, de modo que es $\mathbb{C}P^n$. A continuación, $A = \mathcal{O}(-1)$ (si tengo mis signos a la derecha) y $B$ es el cociente de $(n+1)\mathcal{O}(0)$$A$. Por lo $A^* \otimes B$ es un cociente de $(n+1)\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(0)$. Este es, pues, una resolución de la tangente paquete directos de las cantidades de la línea de paquetes. La cotangente paquete tiene una doble resolución, y se puede explotar una resolución como esta, para obtener una resolución del exterior de poderes.
Esta realización de la tangente paquete de $\mathbb{C}P^n$ le permite calcular sus clases de Chern. Creo que los valores de las clases de Chern de decirle que no es más directamente a una suma directa de línea de paquetes. Al $n=2$, Arce me dice que las clases de Chern de la línea de paquetes sería irracional. (Edit: Como David Speyer, explica, puede confirmar con la pluma y el papel que la clase de Chern no factor completamente, y aún no es lineal factor de al $n$ es impar.)
Me imagino que esto se explica mejor en algunos de los más recientes libros de texto, pero Google encuentra un viejo papel por Hangan con la misma declaración de que el Grassmannian tangente paquete es un producto tensor. El documento considera las implicaciones geométricas de tener algún tensor de la factorización de la tangente paquete de un colector en general.
Me imagino que no se puede describir la tangente paquete de un general Grassmannian en términos de la línea de paquetes. La línea de paquetes de producir un determinado subgrupo de la semigroup de total posible de las clases de Chern. Yo creo que este subgrupo echa de menos las clases de Chern de los correspondientes paquetes por una milla. (Pero yo no sé de un riguroso argumento o una referencia.)
