Factorización

Question

Tengo esta pregunta en una prueba pero no especifica la variable con respecto a que yo tenía que factorizar

$$a^2-ab-bc\pm c^2$$

donde podría ser sólo $a(a-b)-c(b\pm c)$ pero no hay un factor común en todos los términos. Siento que puedo falta algo. $\pm$ Allí es porque no recuerdo si era el último signo menos o más.

¿Hay algún truco para factorizar esto o es este vacío? ¿Qué significa factorizar esto?

Answer 1

$a^2-ab-bc-c^2=a^2-c^2-ab-bc=(a-c)(a+c)-b(a+c)=(a-c-b)(a+c)$.

Si $a^2-ab-bc+c^2$ es factorizable, es igual a $(\alpha a + \beta b + \gamma c)(\alpha' a + \beta' b + \gamma' c)$ donde $\alpha,\alpha',\beta, \beta',\gamma, \gamma' \in \mathbb{R}$. So, $\alpha \alpha'=1$, $\gamma \gamma'=1$ and $\alpha \gamma' + \alpha' \gamma=0$.

$0=\alpha' \gamma( \alpha \gamma' + \alpha' \gamma)=(\alpha \alpha')(\gamma \gamma')+ (\alpha' \gamma)^2=1 +( \alpha' \gamma)^2$. Es imposible.

$a^2-ab-bc+c^2$ no es factorizable.

Answer 2

Observamos que

$$\begin{eqnarray} a^2-ab-bc+c^2&=&a^2+c^2-b(a+c)\\ &=&(a+c)^2-b(a+c)-2ac\\ &=&(a+c)^2-b(a+c)+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2+8ac}{4}\\ &=&\left(a+c-\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2+8ac}{4}. \end{eqnarray}$$ por lo tanto, si %#% a^2-ab-bc+c^2=\left(a+c-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2+8ac}{4}}\right)\left(a+c-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2+8ac}{4}}\right) #% y