$p+q\neq 1+pq$ para primos impares distintos $p$ y $q$

Question

Estoy tratando de demostrar que eso $\sqrt p + \sqrt q$ no puede escribirse como una combinación lineal de $1$ y $\sqrt{pq}$ con coeficientes racionales, y lo he reducido a demostrar que $p+q \neq 1+pq$ cuando $p$ y $q$ son primos distintos.

Intenté hacer esto por contradicción y mostré que si, digamos, $p=2$ entonces $2+q=1+2q \implies q=1$, lo cual es una contradicción porque $q$ es primo.

Apreciaría si pudieras mostrarme cómo lidiar con el caso donde tanto $p$ como $q$ son impares.

(He intentado en su mayoría sacando módulo $p$ o $q$ y moviendo cosas, pero realmente no estoy avanzando con eso).

Answer 1

Si $p = 2j + 1$ y $q = 2k + 1$, entonces $p + q = 2j + 2k + 2$ mientras que $1 + pq = 1 + (2j + 1)(2k + 1) = 4jk + 2j + 2k + 2$.

Por lo tanto $(pq + 1) - (p + q) = 4jk > 0$.