Demostrar que si $f$ es diferenciable en $x=0$, entonces es diferenciable en $f$ $\mathbb{R}$.

Question

$Conj:$ Suponga que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable en a $x=0$, satisface $f(a + b) = f(a)f(b)$ todos los $a,b,\in\mathbb{R}$, y no es idénticamente cero ($\exists ~x$ tal que $f(x) \neq 0$). A continuación, $f$ es diferenciable y $f'(x) = f'(0)f(x)$.

Yo creo que es necesario mostrar que $f(0) = 1$, $f(x)\neq 0$ para todos los $x$ y $f$ es continua si es continua en a $f(0)$. Aquí es lo que tengo hasta el momento:

$Proof:$ $f$ no idéntica a cero implica que existe $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) \neq 0$. Entonces:

\begin{align} f(x) &= f(x +a - a) & \text{(where %#%#%).}\\ & = f(x)f(a)f(-a) \\ & \neq 0 \end{align}

Por lo tanto, $a \in \mathbb{R}$ implica que el $f(x)\neq 0$ todos los $f(a)\neq 0$. Además,

\begin{align} f(0) & = f(0 + 0)\\ & = f(0)^2 \end{align}

Por lo tanto, $a \in \mathbb{R}$ debe ser 0 o 1. Sólo nos mostró que $f(0)$ todos los $f(x)\neq 0$, lo $x$.

Ahora tengo la necesidad de continuidad de la pieza (creo) pero estoy atascado.

Gracias de antemano!

Answer 1

No estoy seguro por qué buscas específicamente para probar continuidad. Es posible sólo ir directamente a differentiability en $x$. Uso la definición de la derivada en $x$:

$$\begin{align} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(x)\,f(h)-f(x)}{h}\\ &=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}\\ \end {Alinee el} $$

Han demostrado $f(0)=1$, por lo que

$$\begin{align} f'(x)&=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ \end {Alinee el} $$