Atiyah ' definiciones de s de topológico teoría cuántica de campos

Question

Según Atiyah, una TQFT es un functor de la categoría de cobordisms a la categoría de espacios vectoriales.

¿Cómo relaciona esta definición con la física de la mecánica cuántica?

¿Qué representa físicamente la categoría del cobordism en la definición anterior?

Answer 1

Un cobordism entre dos colectores representa algún tipo de evolución de un estado a otro del espacio espacio de estado. En la mecánica cuántica, tenemos una evolución continua de parámetro de tiempo. Con el fin de obtener un TQFT que describe este, elegir

• 0-dim topológica de los colectores, es decir, puntos de objetos (o "el punto", como el único objeto)

• 1-dim cobordisms de los puntos como flechas,

• añadir una estructura de Riemann a la 1-dim cobordisms, que les equipa con una longitud de.

Ahora un TQFT en esta categoría será un functor que

• se asocia a un (finito o infinito dimensional) espacio vectorial $H$ para el punto,

• asocia un operador lineal $U(t): H \to H$ a todos (o los) intervalo de longitud de $t$ tal que

• $U(t s) = U(t) U(s)$ (functoriality).

Para infinitas dimensiones espacios vectoriales tendríamos que asumir que son (complejo) espacios de Hilbert. Y nosotros, además de tener que asumir que el lineal de los operadores, que están asociados a cobordisms son unitarias de los operadores. A continuación, el TQFT es idéntica a la imagen de Schrödinger de la mecánica cuántica. Los rayos en el espacio vectorial $H$ representan el estado de un sistema físico y los operadores de $U(t)$ representan la evolución del sistema a partir de un estado en el tiempo 0 hasta el tiempo de $t$.

Edit: En la interpretación física de TQFT los espacios vectoriales representan el estado de los espacios de los sistemas físicos que no es el mismo espacio físico. Un punto en un espacio de estado representa a toda la información necesaria para describir completamente el sistema físico en la mano.

Answer 2

Juan Báez ha escrito varias cosas sobre esto. Brevemente, cobordisms debe ser pensado en términos de tiempo de evolución: usted tiene dos colectores que representan el espacio, y un cobordism entre ellos representa la evolución en el tiempo. Por supuesto, para ser físicamente más realista debería poner de Lorenz de la estructura de la cobordism y hacer los dos colectores de spacelike rodajas, pero supongo que el punto de que el adjetivo "topológico" es ignorar estos detalles adicionales para el bien de la simplicidad matemática.

A continuación, el functor a $\text{Vect}$ se supone que es una versión simple de un functor a $\text{Hilb}$ (de la categoría de los espacios de Hilbert) la asignación a un colector el espacio de Hilbert de los estados, y la asignación a un cobordism un operador lineal que representa el tiempo de evolución. De nuevo, a ser físicamente más realista debe exigir que el operador unitario y, de hecho, existe una noción unitaria de TQFT (pero muchos TQFTs de interés para los matemáticos no son unitaria).