Me encontré con esta preguntas de pasado año concurso de matemáticas en mi país, he tratado de cualquier forma posible de encontrar, pero es simplemente demasiado difícil.
encontrar el coeficiente de $x^{17}$ en la expansión de $(1+x^5+x^7)^{20}$
(A) 3400 (B)3410 (C) 3420 (D) 3430 (E) 3440
así que sería %#% $ #%
Esto requiere el teorema binomial y Multinomial teorema, pero no sé cómo calcularlo. Agradeceria consejos ni fórmula.
El uso del coeficiente multinomial $(k_1, k_2, \cdots, k_n)$!:
$$ \big( 1 + x^5 + x^7\big)^{20} = \sum_{k_1=1}^{20} \sum_{k_2=1}^{20-k_1} (k_1, k_2, 20 - k_1 - k_2)! x^{5k_1} x^{7k_2}, $$
donde
$$ (k_1, k_2, \cdots, k_n)! = \frac{ (k_1 + k_2 + \cdots + k_n )! } { k_1! k_2! \cdots k_n!}. $$
Así, obtenemos $k_1=2$$k_2=1$, lo que
$$ (2,1,17)! = \frac{(2+1+17)!}{ \begin{array} {ccc}2! & 1! & 17!\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\\ 2 \times 5 & 1 \times 7 & 17 \times 0 \end{array} } = 3420. $$
[cambio en el orden debido al comentario de @Henning Makholm]
$(1+x^5+x^7)^{20}=\{(1+x^5)+x^7\}^{20}$
$=(1+x^5)^{20}+\binom{20}1(1+x^5)^{20-1}(x^7)^1+\binom{20}2(1+x^5)^{20-2}(x^7)^2+\cdots+(x^7)^{20}$
Por lo que la suma requerida será
el coeficiente de $x^{17}$ $(1+x^5)^{20}$
$+\binom{20}1\cdot$ el coeficiente de $x^{17-7}$ $(1+x^5)^{20-1}$
$+\binom{20}2\cdot$ el coeficiente de $x^{17-7\cdot2}$ $(1+x^5)^{20-2}$
Claramente, el exponente de $x$ $(1+x^5)^n$ será divisible por $5$
Así, el primero y el último sumando deben ser cero
Ahora para el coeficiente de $x^{17-7\cdot1}$ $(1+x^5)^{20-1},$
el $r+1$th término $\binom{19}r(x^5)^r=\binom{19}rx^{5r}$ y necesitamos $5r=10\iff r=?$
Así que si usted piensa acerca de
$$ (1 + x^5 + x^7)^{20} $$
Que intuitivamente es justo
$$ ((1 + x^5) + x^7) \times ((1 + x^5) + x^7) \times ((1 + x^5) + x^7) ... $$
Que puede ser expandido fuera de término por término. Por el Teorema del Binomio como
$$ (1 + x^5)^{20} (x^7)^0 + \begin{pmatrix} 20 \\ 1\end{pmatrix}(1 + x^5)^{19}x^7 + \begin{pmatrix} 20 \\ 2\end{pmatrix}(1 + x^5)^{18}x^{14} ...$$
Ahora podemos tomar cada uno de los $$(1 + x^5)$$ términos y ampliar así.
Tenga en cuenta que el número 17 puede ser expresado como la suma, en términos de múltiplos de 5 y 7 como
$$ 10 + 7$$
Si consideramos que decir $15$ en la suma es demasiado grande, y lo mismo $14$ asimismo, existen argumentos para mostrar que $5$ por sí mismo no agregar a un positivo múltiplo de 7 para hacer 17.
Eso significa que cada poder del 17 está contenida en el plazo
$$\begin{pmatrix} 20 \\ 1\end{pmatrix}(1 + x^5)^{19}x^7 $$
De nuestro binomio de expresión. Tenemos que encontrar el coeficiente de $x^{10}$ en
$$ (1 + x^5)^{19} $$
Llamada que C. a Continuación
$$ C \begin{pmatrix} 20 \\ 1\end{pmatrix}$$ Es la respuesta.
Por El Teorema Del Binomio:
$$ (1 + x^5)^{19} = 1 + \begin{pmatrix} 19 \\ 1\end{pmatrix}x^5 + \begin{pmatrix} 19 \\ 2\end{pmatrix}x^{10} ... $$
Así que, a continuación, $C = \begin{pmatrix} 19 \\ 2\end{pmatrix} $
Así que la respuesta es, entonces,
$$\begin{pmatrix} 19 \\ 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 1\end{pmatrix} $$
Para obtener más avanzadas técnicas (vale la pena echar un vistazo a la multinomial teoremas). Que generalizar estas ideas para arbitrariamente grandes sumas elevado a potencias enteras como el teorema del binomio para 2 elementos elevado a una potencia.
Tenga en cuenta que
$$\begin{pmatrix} 19 \\ 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 1\end{pmatrix} = \frac{19!}{2!17!} 20 = 19 \times 9 \times 20 = 3420$$
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