Si $x_n \to \pm \infty$ y $x_n y_n$ converge, demuestre que $y_n \to 0$

Question

Dejemos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sean secuencias en $\mathbb{R}$ tal que $x_n \to \pm \infty$ y $(x_ny_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge. Demuestre que $y_n \to 0$ .

Este problema me está volviendo loco. Todo lo que hice hasta ahora fue establecer las siguientes definiciones:

• Si $x_n \to \infty$ , entonces para todos los $M > 0$ existe un $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_1$ implica $x_n > M$ .

• Si $x_n \to -\infty$ , entonces para todo $N < 0$ existe un $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_2$ implica $x_n < N$ .

• Si $x_ny_n \to L$ , donde $L \in \mathbb{R}$ , entonces para todos los $\epsilon > 0$ existe un $n_3 \in \mathbb{N}$ tal que $n \ge n_3$ implica $|x_n y_n-L|<\epsilon$ .

¿Cómo puedo abordar este problema? He pensado en demostrar por contradicción, es decir, qué pasa si $L > 0$ y si $L < 0$ para cada caso de $x_n \to +\infty$ y $x_n \to -\infty$ ?

Answer 1

Desde $(x_n y_n)$ converge a decir $L$ así que deja que $\epsilon>0$ entonces $\exists n_0$ y para $n\ge n_0$ tenemos

$$M|y_n-\frac L{x_n}|\le |x_n||y_n-\frac L{x_n}|=|x_ny_n-L|<\epsilon$$ por lo que por la desigualdad del triángulo obtenemos $$0\le|y_n|<\frac{\epsilon}M+\frac L{|x_n|}<\frac{2\epsilon}M,\;\text{for $ n $ large}$$

Answer 2

Has llegado a

$$|x_n y_n-L|<\epsilon\Leftrightarrow L-\epsilon < x_ny_n < L+\epsilon, $$ desde donde (si $x_n\ne 0$ )

$$\frac{L-\epsilon}{|x_n|} < |y_n| < \frac{L+\epsilon}{|x_n|} .$$ En particular,

$$|y_n| < \frac{L+\epsilon}{|x_n|} .$$

Ahora bien, como $|x_n|\to \infty,$ para cualquier $N>0$ existe $n_0$ tal que $n\ge n_0 \implies |x_n|>N.$ Así, para $n\ge n_0$ es

$$ |y_n| < \frac{L+\epsilon}{|x_n|}<\frac{L+\epsilon}{N} .$$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 3

Nótese que una secuencia convergente está acotada. Por lo tanto: Para alguna $M > 0$ y $m \in \mathbb{N}$ tenemos:

$|x_ny_n| < M$ para $n \geq m$ Así que..: $|y_n| < \dfrac{M}{|x_n|}$ Esto implica $y_n \rightarrow 0$ .

Answer 4

insinuación: sólo se necesita el hecho de que $x_ny_n$ está acotada. Utilice el teorema de composición con la función $ x\to \frac 1x $

Answer 5

Dejemos que $(x_n)$ y $(a_n)$ sean secuencias de números reales tales que $x_n\to\pm\infty$ y $a_n\to L$ para algunos $L\in\mathbb{R}$ .

Entonces $\displaystyle\frac{a_n}{x_n}\to 0$ desde $\displaystyle\frac{a_n}{x_n}=\big(a_n\big)\left(\frac{1}{x_n}\right)$ donde $\big(a_n\big)$ está acotado y $\displaystyle\frac{1}{x_n}\to 0$ Así que

aplicando este resultado con $a_n=x_n y_n$ da $y_n\to 0$ .