Límite de $(1-2^{-x})^x$

Question

Estoy observando que $(1-2^{-x})^x \to 1$ $x \to \infty$, pero estoy teniendo problemas para probar esto. ¿Por qué el $-x$ "beat" $x$?

Pensé tal vez teniendo en cuenta %#% $ $$1-(1-2^{-n})^n = 2^{-n}(1+2^{-n}+2^{-2n}+\cdots+2^{-n(n-1)})\le2^{-n} \frac{1}{1-2^{-n}} \to 0,$ #% y luego observando que $n \to \infty$ es continua para pasar de enteros $(1-2^{-x})^x$ a cualquier % real $n$.

¿Hay una solución más elegante, o cualquier intuición mejor? Por otra parte, parece que $x$ tiene así cualquier $(1-2^{-ax})^{bx}\to 1$.

Answer 1

\begin{align*} \lim_{x\to\infty} (1-2^{-x})^x&=\lim_{x\to\infty} e^{\ln(1-2^{-x})^x}\\ &=\lim_{x\to\infty} e^{x\ln(1-2^{-x})}\\ &=e^{\lim_{x\to\infty} x\ln(1-2^{-x})}\\ \end{align*} ahora apenas centran en el exponente...\begin{align*} \lim_{x\to\infty} x\ln(1-2^{-x})&=\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(1-2^{-x})}{\frac{1}{x}} \to \frac{0}{0} \tag{then by LHopital..}\\ &=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{1-2^{-x}}(1-2^{-x})^\prime}{\frac{-1}{x^2}} \\ &=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2^{-x}\ln 2}{1-2^{-x}}}{\frac{-1}{x^2}} \\ &=\lim_{x\to\infty} \frac{ x^2\ln 2}{1-2^x} \to 0\tag{after lHopital%#%#%} \\ \end{align*} por lo que el límite es de $^2$ $

Answer 2

Mira el logaritmo: $$ \log(1-2^{-x}) ^ x = x\log (1-2 ^ {-x}) \sim x\cdot(-2^{-x}) \rightarrow 0. $$ Tanto $$ (1-2 ^ {-x}) ^ x \rightarrow 1. $$

Answer 3

$(1-2^{-ax})^{bx}=e^{bx \log (1-2^{-ax})}$

Utilizamos la regla de L'Hospital para calcular el límite:

$\lim_{x\to \infty}x \log (1-2^{-ax})=\lim_{x\to \infty}\frac{\log (1-2^{-ax})}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to \infty}\frac{-2^{-ax}\log 2 (-a)}{(1-2^{-ax})}-x^2=\lim_{x\to \infty}-a\log2 \frac{x^2}{2^{ax}-1}\to 0$

Por lo tanto, el límite es de 1 $\forall a,b>0$.

Answer 4

$(1-2^{-x})^x=\exp(x\cdot\ln(1-2^{-x}))$, por lo que es suficiente para demostrar que \lim_{x\to\infty}x\cdot\ln(1-2^{-x}) $$ = 0. $$ Pero, de la expansión de Maclaurin, big $x$, $\ln(1-2^{-x})\approx-2^{-x}$ y $ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{2^x}=0. $$

Answer 5

Es suficiente para mostrar que, $0 \le y \lt 1 \lt x$ tenemos $$1 \gt (1-y)^x \gt 1-yx$$ Because then, for $y = 2 ^ {-x} $ or any $y = y (x) $ with $ yx \rightarrow 0, $ we have $% $ $\lim_{x \rightarrow \infty}(1-y)^x=1.$

Nota: creo que la prueba corta abajo puede ajustarse para mostrar que, $yx \lt 1 \text{ and } 2 \le x,$ % $ $$1-yx+y^2\frac{x(x-1)}{2} \gt (1-y)^x \gt 1-yx$que significa que, para su problema, la estimación es bastante precisa.

Así que fijar $y$ y tenga en cuenta que para el $x=1$ $$(1-y)^x = (1-yx).$$ Then derivatives show that, as $x $ increases, the lefthand side decreases less rapidly than the right: $% $$-x(1-y)^{x-1} \gt -x.$

Es realmente una buena estimación de su pregunta. $x=9$ Y $y=2^{-9}=\frac{1}{512}$ tenemos $$\begin{eqnarray*} 1-yx&=&0.982421875\\ (1-y)^x&=&0.98255858\cdots\\ 1-yx+y^2\frac{x(x-1)}2&=&0.9825592\cdots \end{eqnarray *} $$