Como está escrito en el título, quiero demostrar que
Si $n$ es un entero, muestran si $2+2\sqrt{28n^2+1}$ es un entero de lo que debe ser cuadrado perfecto.
Yo m luchando por empezar esto. Por favor ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Con las sugerencias de @barak manos y @ Alqatrkapa he Notado que puedo mejorar en mi post.
Observe que $2+2\sqrt{28n^2+1}$ es un entero par. También, $28n^2+1$ es un cuadrado perfecto de un entero impar decir $m$ (Debido a $28n^2+1$ es impar).
Ahora, $$28n^2=m^2-1=(m+1)(m-1)\implies 7n^2=(\frac{m+1}{2})(\frac{m-1}{2})$$
Por lo tanto, $(\frac{m+1}{2})=7a^2$,$(\frac{m-1}{2})=b^2$ o $(\frac{m+1}{2})=b^2$, $(\frac{m-1}{2})=7a^2$. Esto es debido a que $7n^2$ $7$ veces de un cuadrado y por lo tanto el lado derecho también es $7$ veces un cuadrado perfecto. Esto sólo es posible cuando uno de ellos es $7$ veces de un cuadrado y el otro es simplemente un cuadrado como $(Square * Square=Square)$, se puede decir que existe la posibilidad de que ambos no son cuadrados, pero el producto es (como $2*8=16=4^2$), pero aviso que $(\frac{m+1}{2})$ $(\frac{m-1}{2})$ son números enteros consecutivos y, por lo tanto coprime
Si $\frac{m+1}{2}=7a^2$$\frac{m-1}{2}=b^2$$b^2\equiv-1\mod (7)$, una contradicción.
Por lo tanto, $\frac{m-1}{2}=7a^2$$\frac{m+1}{2}=b^2$. Por lo tanto, $2+2m=4b^2$ un cuadrado perfecto.
