Confusión de la derivada parcial.

Question

No entiendo las derivadas parciales. Aquí hay un ejemplo que clava mi confusión:

Supongamos que tenemos algunas variables $x$ , $p$ y $q$ con $p=x^2$ y $q=e^x$ . Entonces $$\frac{\partial q}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}e^{\left(p^{1/2}\right)}=\frac{e^{\left(p^{1/2}\right)}}{2p^{1/2}}$$

Hasta aquí todo bien.

Supongamos ahora que tenemos las variables $p$ , $q$ y $a$ con $a=pq$ . Entonces $$\frac{\partial q}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\frac{a}{p}=-\frac{a}{p^2}$$ (donde $a$ se mantiene constante)

¿Qué sucede cuando tenemos ambas cosas a la vez? $p=x^2$ , $q=e^x$ y $a=pq$ . ¿Qué es? $\frac{\partial q}{\partial p}$ ? ¿Depende de lo que mantengamos constante? ¿Si mantenemos $x$ constante tiene sentido?

Answer 1

Esta confusión suya está muy extendida y ha desempeñado un papel en varias preguntas aquí en math.SE; véase por ejemplo https://math.stackexchange.com/questions/51955 , Derivada de una función inversa complicada , Encontrar una derivada y Derivados intercambiables . Tiene que ver con el hecho de que nuestra notación para las derivadas parciales no indica el hecho de que la derivada parcial es una operación sobre funciones de varias variables y su significado depende de las variables de las que se considera que depende la función. Se puede aclarar escribiendo siempre las variables que se mantienen constantes, bien como argumentos de la función:

$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$$

o con una barra vertical:

$$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y,z}\;.$$

En tus ejemplos, no has definido ninguna función que dependa de varias variables, por lo que no está del todo claro a qué te refieres con $\partial q/\partial p$ . Una forma de interpretar estos ejemplos de forma coherente podría ser la siguiente.

En el primer ejemplo, hay relaciones fijas entre $p$ y $x$ y entre $q$ y $x$ . Por lo tanto, en este caso sólo hay una variable independiente y, por lo tanto, no se necesitan derivadas parciales. Se puede considerar $q$ en función de $x$ y escribir

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dx} =\mathrm e^x\;,$$

o puede sustituirlo por $\sqrt p$ para $x$ (sin tener en cuenta las cuestiones relativas a los signos), considere $q$ en función de $p$ y escribir

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp} =\frac{\mathrm e^\sqrt p}{2\sqrt p}\;,$$

ambos con derivados ordinarios.

En el segundo ejemplo, sólo tienes una relación entre las tres variables y ninguna relación fija entre dos de ellas, por lo que esta situación es diferente. Puedes considerar dos de las tres como variables independientes, y en consecuencia obtienes dos derivadas diferentes de $q$ con respecto a $p$ :

$$\left.\frac{\partial q(p,q)}{\partial p}\right|_{q}=0\;,$$

$$\left.\frac{\partial q(p,a)}{\partial p}\right|_{a}=-\frac a{p^2}\;.$$

En el último ejemplo, se vuelve a dar la misma situación que en el primer ejemplo; todas las variables están en una relación fija entre sí por lo que no se puede elegir más de una de ellas de forma independiente, por lo que no hay necesidad de derivadas parciales y se puede considerar cualquiera de ellas como función de cualquier otra.

Las respuestas a sus dos últimas preguntas son: Sí, si tienes más de una variable independiente, entonces depende de lo que mantengas constante; y no, no tiene sentido en el último ejemplo mantener $x$ constante, y tampoco tiene sentido mantener constante ninguna de las otras variables, ya que cada una de ellas determina todas las demás (por eso aquí no se necesitan derivadas parciales).