Independencia lineal de las potencias fraccionarias

Question

Reflexionando sobre este reciente MSE pregunta, me llevó a la siguiente conjetura :

Deje $A=\left\lbrace x^y \mid x,y\in{\mathbb Q}_+ \right\rbrace$. Si $\alpha,\beta,\gamma\in A$ son pares $\mathbb Q$-linealmente independientes (es decir, $(\alpha,\beta),(\alpha,\gamma)$ y $(\beta,\gamma)$ $\mathbb Q$- linealmente independientes), a continuación, $(\alpha,\beta,\gamma)$ es ("global") $\mathbb Q$-linealmente independientes.

¿Alguien tiene una idea sobre cómo probar o refutar esta conjetura?

Algunos pensamientos : son positivos racionales $a,b,c$ y un entero $r\geq 2$ tal que $\alpha=a^{\frac{1}{r}},\beta=b^{\frac{1}{r}},\gamma=c^{\frac{1}{r}}$. Multiplicar por un adecuado común denominador, podemos suponer que la $a,b,c$ son enteros.

EDITAR(10/12/2014) tal vez uno puede utilizar la inducción en $t$, el número de números primos de buceo $abc$. De hecho, el caso base $t=1$ sigue de la irreductibilidad de $X^r-p$ primer $p$ (recordar el criterio de Eisenstein).

Answer 1

Me acabo de enterar de que esta propiedad es consecuencia de una proposición en el siguiente trabajo de Iurie Boreico(ver las "autoridades Superiores" en la página 91) : http://www.thehcmr.org/issue2_1/mfp.pdf.

Tenga en cuenta que en Boreico del teorema de todos los coeficientes en la relación lineal que se supone sean no negativos, excepto la de antes de $1$. Esto no es un problema cuando tenemos tres elementos : si $q_1a_1^{\frac{1}{r}}+q_2a_1^{\frac{1}{r}}+q_3a_3^{\frac{1}{r}}=0$ $q_1,q_2,q_3$ racional, entonces el $q_i$ no son todos del mismo signo. Así, por ejemplo, $q_1$ $q_2$ compartir el mismo signo, mientras que $q_3$ es de signo opuesto. Entonces

$$ \frac{-q_1}{q_3}\bigg(\frac{a_1}{a_3}\bigg)^{\frac{1}{r}}+ \frac{-q_2}{q_3}\bigg(\frac{a_1}{a_3}\bigg)^{\frac{1}{r}}=1, $$

y ahora podemos aplicar Boreico del teorema.