Pruebalo $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\alpha^{2})$

Question

Vamos$f = X^{4}+X^{3}-X+2 \in \mathbb{Q}[X]$ y supongamos que$f(\alpha)=0$ con$\alpha \in \mathbb{C}$. Pruebalo $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\alpha^{2})$.

Hasta ahora he tratado de ver la estructura de los grupos:

$\mathbb{Q}(\alpha) = \{b+c\alpha\}$

Y (suponiendo que$\alpha^{2}$ es algebraico sobre$\mathbb{Q}$)

$\mathbb{Q}(\alpha^{2}) = \{b+c\alpha^{2}\}$

Es fácil ver que:$\mathbb{Q}(\alpha^{2})\subset\mathbb{Q}(\alpha)$, pero es el otro lado:$\mathbb{Q}(\alpha)\subset\mathbb{Q}(\alpha^{2})$ que me molesta.

Cualquier consejos / trucos?

¡Gracias!

Answer 1

$\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\a}{\alpha}$ Como usted dice, es claro que $\Q(\a^2) \subset \Q(\a)$, por lo que necesita para demostrar la $\Q(\a) \subset \Q(\a^2)$. Esto es equivalente a $\a \in \Q(\a^2)$.

Pero usted sabe que $\a^4 + \a^3 - \a + 2 = 0$. Equivalentemente, $(\a^2)^2 + \a (\a^2 - 1) + 2 = 0$. Además de ni $1$ ni $-1$ son raíces de $f$, lo $\a^2 \neq 1$. Por lo tanto, $$\a = \frac{2 + (\a^2)^2}{1-\a^2} \in \Q(\a^2)$$

Tenga en cuenta que su descripción de la $\Q(\a)$ $\Q(\a^2)$ están un poco lejos. Ellos son, respectivamente, el mínimo de los subcampos de $\mathbb{C}$ contiene $\a$, resp $\a^2$, por lo que necesita para considerar todas las fracciones racionales (los que hacen el sentido de que es, no una división por 0). La descripción $\Q(\beta) = \{ b + c \beta \}$ sólo es válido en algunos casos, por ejemplo, $\beta = \sqrt{2}$ (o más en general, cuando se trata de una extensión cuadrática).