Qué es el Grupo abeliano libre en $M \times N$ donde $M,N$ módulos.

Question

El Grupo abeliano libre (equivalente el libre $\mathbb{Z}$-módulo) $F(M \times N)$ se define como el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de $M \times N$,

$$F(M \times N) = \{n_1x_1 + \cdots +n_kx_k : n_i \in \mathbb{Z}, x_i \in M \times N, k \in \mathbb{Z}_{\ge0}\}$$

¿Estas combinaciones lineales ya no sería en $M \times N$? ¿Cómo es el Grupo abeliano libre diferente de $M \times N$?

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos que usted tomó el $\mathbb{Z}$-módulo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=M$. Luego, en $M^2$ tiene que $2(1,0)=(0,0)$ pero en $F(M^2)$ uno tiene que $2(1,0)\ne (0,0)$. Las relaciones entre elementos de $M^2$ que no lo mantenga elementos de $F[M^2]$.

Answer 2

Primero de todo, arbitrarias de los módulos de $M, N$ usted no necesita tener ese $M\times N$ es un módulo, por lo $M\times N$ no puede ser el módulo generado por algo. Pero también si $M, N$ eran libres, estos dos módulos no sería igual.

Puedo tomar la siguiente definición: $F_\mathbb{Z}(M\times N)$ es el módulo con base en el conjunto de $M\times N$. (Si usted tiene otra definición, comentario y yo debería ser capaz de demostrar la equivalencia.) Esto significa que nos olvidamos de la estructura del módulo de $M\times N$ y sólo lo hacen en forma gratuita de un módulo, por ejemplo, tenemos: $$[0]+[0]=2\cdot [0]\neq [0]$$ donde los elementos entre paréntesis denotan la base de los elementos.

Así por ejemplo, tenemos la $F_\mathbb{Z}(0\times 0)=F_\mathbb{Z}(0)\cong \mathbb{Z}$. Y algunos de los ejemplos de productos: $F_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}^2$ $F_\mathbb{Z}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[X, X^{-1}]$ (por el mapa $[n]\mapsto X^n$).

Answer 3

Un módulo$\mathbb Z$ - correcto es también un módulo$\mathbb Z$ - izquierdo, si eso ayuda.