Álgebra lineal: cuatro preguntas de "verdadero o falso" sobre matrices y sistemas lineales

Question

Estoy repasando para mi curso de álgebra lineal, y tengo cuatro preguntas de "verdadero o falso" que me cuesta probar. He incluido mi aproximación a las soluciones entre paréntesis debajo de ellas:

1) Si $A^2 = B^2$ entonces A = B o A = -B, donde A y B son matrices nxn
(No estoy seguro de cómo enfocar esto en absoluto)

2) Toda matriz simétrica sesgada de 3x3 es singular
(Estoy bastante seguro de que he acertado en esto: porque se trata de una matriz simétrica sesgada, $\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n\det(A)$ y cuando n es impar $\det(A) = -\det(A)$ Así que $2\det(A) = 0$ y por lo tanto $\det(A) = 0$ . Como tal, la respuesta es "Falso" porque sólo es singular cuando n es impar)

3) Cualquier sistema de n ecuaciones lineales en n variables tiene como máximo n soluciones
(Un sistema puede tener infinitas soluciones si el determinante es cero, ¿verdad? Sólo que no sé cómo demostrarlo)

4) Para una matriz cuadrada A, A es invertible si y sólo si $AA^T$ es
(Tampoco estoy seguro de cómo enfocar esto)

Answer 1

1: No. Considere $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ and $\left(\begin{smallmatrix}0&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ o $\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ and $\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)$ .

2: Según tu razonamiento es cierto ya que sólo estamos considerando $n=3$ .

3: Tienes razón; esto es falso. Basta con tener un contraejemplo como $$x+y = 0\\ 2x + 2y =0$$ 4: Esto es cierto; tenga en cuenta $\det(AA^T)=\det(A) \det(A^T) = [\det(A)]^2$ . Concluir $\det(A)=0 \iff \det(AA^T) = 0$

Answer 2

Creo que no es necesariamente mejor demostrar que la invertibilidad de $A$ es equivalente a la de $A^T$ utilizando el determinante. De hecho, como señaló el usuario46944 en https://math.stackexchange.com/a/930345/87579 se puede construir explícitamente una inversa para $A A^T$ de uno para $A$ . Puede que esto no sea muy elegante, pero creo que da una visión más inmediata de lo que está sucediendo.

Para el caso inverso, observe que, si $B \mathrel{:=} A A^T$ es invertible, entonces $A(A^T B^{-1}) = I$ para que $A$ tiene un inverso derecho. En general, esto es todo lo que se puede decir (considere el operador de desplazamiento $A(x_0, x_1, x_2, \dotsc) = (x_1, x_2, \dotsc)$ para lo cual $A A^T = I$ ). En el caso de las dimensiones finitas, un operador es invertible (de dos lados) si y sólo si tiene un inverso de un lado, así que hemos terminado.

Answer 3

Esta es una respuesta incompleta.

Para la 4), hay que demostrar ambas cosas:

(i) $A$ es invertible implica $AA^{T}$ es invertible

(ii) $AA^{T}$ es invertible implica $A$ es invertible.

Para demostrar (i), supongamos $A$ es invertible. Entonces $A^{-1}$ existe. Entonces $(A^{-1})^{T}$ la transposición de la matriz inversa, existe. Ahora, recordemos que para cualquier matriz $A$ y $B$ , $(AB)^{T} = B^{T}A^{T}$ . Entonces, multiplicando $AA^{T}$ por $(A^{-1})^{T}$ obtenemos $AA^{T}(A^{-1})^{T} = A(A^{-1}A)^{T} = A(I^{T}) = AI = A$ y así $AA^{T}(A^{-1})^{T} = A$ . Así, multiplicando a la derecha de cada lado de la ecuación por $A^{-1}$ da $AA^{T}(A^{-1})^{T}A^{-1} = AA^{-1} = I$ . Así, la inversa de $AA^{T}$ es $(A^{-1})^{T}A^{-1}$ .

La prueba de (ii) no es exactamente como la prueba anterior, pero creo que se puede resolver con la misma reflexión que la prueba anterior. Pero parece que otros usuarios han dado una prueba mucho más corta y sencilla para 4.

Answer 4

Para el número 4, $$\det(AA^t) = \det(A)\det(A^t) = \det(A)^2.$$ Por lo tanto, $\det(A) = 0 \iff \det(AA^t) = 0$ .