Estoy repasando para mi curso de álgebra lineal, y tengo cuatro preguntas de "verdadero o falso" que me cuesta probar. He incluido mi aproximación a las soluciones entre paréntesis debajo de ellas:
1) Si $A^2 = B^2$ entonces A = B o A = -B, donde A y B son matrices nxn
(No estoy seguro de cómo enfocar esto en absoluto)
2) Toda matriz simétrica sesgada de 3x3 es singular
(Estoy bastante seguro de que he acertado en esto: porque se trata de una matriz simétrica sesgada, $\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n\det(A)$ y cuando n es impar $\det(A) = -\det(A)$ Así que $2\det(A) = 0$ y por lo tanto $\det(A) = 0$ . Como tal, la respuesta es "Falso" porque sólo es singular cuando n es impar)
3) Cualquier sistema de n ecuaciones lineales en n variables tiene como máximo n soluciones
(Un sistema puede tener infinitas soluciones si el determinante es cero, ¿verdad? Sólo que no sé cómo demostrarlo)
4) Para una matriz cuadrada A, A es invertible si y sólo si $AA^T$ es
(Tampoco estoy seguro de cómo enfocar esto)