Integral con funciones racionales de potencias y exponenciales

Question

Cualquier idea de cómo resolver: \begin{equation} \int_0^\infty x^{n+\frac{1}{2}} (e^{a x }-1)^{-\frac{1}{2}} e^{i x t} dx \end {equation} donde$a$ y$t$ son constantes reales, positivas; $n$ Es un entero positivo.

Creo que el problema viene de tener funciones racionales en ambos poderes y funciones exponenciales.

Intenté conseguir el paseo del poder racional, pero no ayudó realmente \begin{equation} \frac{\partial}{\partial q } \int_0^\infty x^{n} (e^{a x }-1)^{-\frac{1}{2}} e^{i x t+ q x^{1/2}} dx \end {equation}

Tener una pista de cómo resolver esto para$t=0$ ya sería útil. ¡Gracias!

Answer 1

Es realmente suficiente para resolver el $n=0$ de los casos, ya que $t$-los derivados de la $$F(t)=\int_0^\infty \frac{e^{i x t}}{\sqrt{e^{2x}-1}} x^{1/2}\,dx$$ traerá más poderes de $x$; he elegido las unidades para que las $a=1$ por conveniencia. Incluso con estas simplificaciones, no sé cómo calcular una forma cerrada y, entonces, tendrá que conformarse con una adecuada expansión de la serie. Podemos reescribir la fracción en el integrando y expandirse en los poderes de exponenetials $$\frac{e^{i x t}}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{e^{i x t-x/2}}{\sqrt{1-e^{-x}}}=\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}\left(\frac{e^{-x}}{4}\right)^k e^{i x t-x/2}=\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}4^{-k} e^{i x t-(k+1/2)x}.$$

La integración término a término, a continuación, da

$$F(t)=\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}4^{-k}\cdot \frac{1}{2}\pi^{1/2} [(k+\frac{1}{2})-i x]^{-3/2}=\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}\frac{ 2^{-2k-1}\pi^{1/2}}{(k+\frac{1}{2}-i t)^{3/2}}$$

que es un lugar formidable resultado. Es posible que este puede ser resummed como hipergeométrica serie de algún tipo; voy a ver qué puedo encontrar.

Answer 2

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Asi que $x^{n+\frac{1}{2}} (1-e^{-a x })^{-\frac{1}{2}} e^{x(-\frac{a}{2})} dx=x^{n+\frac{1}{2}}(\sum_p\frac{(2p-1)!!}{2p!!}e^{-a(p+\frac{1}{2})x})$

Pero supongo que ya tenías esto, y esto no es realmente práctico ...