El ultraproducto$\mathbb{N}^\mathbb{N} / \mathcal{F}$ es incontable

Question

Tengo que probar:

Sea$\mathcal{F}$ un ultrafiltro no trivial en$\mathcal{P}(\mathbb{N})$. Probar que el ultraproducto$ \mathbb{N}^* = {\mathbb{N}^{\mathbb{N}}}/{\mathcal{F} } $ (no sé si esto es la notación estándar) es incontable.

SUGERENCIA: Pruebe que existe una función$F:\mathbb{N}^\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^\mathbb{N} $ tal que para todo$f,g \in \mathbb{N}^\mathbb{N}$, si$f \neq g$:$\exists n \forall m > n[(F(f))(m) \neq (F(g))(m)] $

Answer 1

En la sugerencia, el primer$f$ debería ser$F$ para coincidir con la anotación posterior. Sugiero que defina$F$ para que, para cada función$f\in\mathbb N^{\mathbb N}$ y cada número natural$n$,$F(f)(n)$ codifique la secuencia finita$\langle f(0),f(),\dots,f(n)\rangle$.