No tengo idea de cómo probar esta propiedad sobre matrices simétricas

Question

Esto es de la tarea, así que por favor solo sugerencias.

Supongamos que$A$ es simétrico tal que todos sus valores propios son 1 o -1. Demuestre que$A$ es ortogonal.

Lo contrario es realmente fácil, pero realmente no tengo ni idea de cómo hacer esto. ¿Algún consejo?

Answer 1

Sugerencia: Una matriz simétrica puede diagonalizarse ortogonalmente, es decir$A = QDQ^T$ para alguna matriz ortogonal$Q$. ¿Qué puedes decir sobre$AA^T$ y$A^TA$?

Answer 2

Aquí está una prueba sin necesidad de utilizar el hecho de que el real simétrica matrices son ortogonalmente diagonalisable.

Por las condiciones dadas, el polinomio mínimo de a $A$ debe tener la forma $(x-1)^r (x+1)^s$. Desde $r\le2\lceil r/2\rceil$$s\le2\lceil s/2\rceil$, obtenemos $(A-I)^{2\lceil r/2\rceil}(A+I)^{2\lceil s/2\rceil}=0$. Como $A$ es simétrica, se sigue que $$ \left((a-I)^{\lceil r/2\rceil}(A+I)^{\lceil s/2\rceil}\right)^T \left((a-I)^{\lceil r/2\rceil}(A+I)^{\lceil s/2\rceil}\right)=0.\la etiqueta{1} $$ Sin embargo, para cualquier matriz $B$ si $B^TB=0$, $\|Bx\|^2=x^TB^TBx=0$ todos los $x$ y, por tanto,$B=0$. Por lo tanto, $(1)$ implica que el $(A-I)^{\lceil r/2\rceil}(A+I)^{\lceil s/2\rceil}=0$. Desde el polinomio mínimo debe dividir aniquilando cualquier polinomio, se deduce que el $r\le \lceil r/2\rceil$ y de manera similar para $s$. Por lo tanto,$r,s\in\{0,1\}$. En consecuencia, $(x-1)(x+1)$ aniquila $A$, es decir,$A^2=I$. Sin embargo, $A^2=A^TA$. Por lo tanto $A$ es ortogonal.

Answer 3

Editado el sábado 16 de noviembre de 2013 10:03 PM PST

Bien, parece que el "sugerencias", han tenido el efecto deseado, así que estoy editando este post para que se de una respuesta, puro y simple.

Dicho esto, intente esto:

desde $A$ es simétrica, existe ortogonal $O$ tal que $O^TAO = \Lambda$, $\Lambda$ diagonal y $\Lambda_{ii} = \pm 1$ todos los $i$. A continuación, $\Lambda^T\Lambda = I$ y desde $O^TA^TO = \Lambda^T$, $O^TA^TOO^TAO = O^TA^TAO = \Lambda^T\Lambda$ = I. Por lo tanto $A^TA = OIO^T = OO^T = I$ $A$ es ortogonal. QED

¡Uf! Que se siente mejor!

Bien, ahora ciertamente he dicho demasiado! ;- )!!!

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!