¿A dónde converge$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^n}}$ a (para algún$x \in \mathbb{R}$ con x <1)?
Puesto que fallamos con el ansatz aquí , pudimos probar que la serie diverge para$x>1$ y converge para$x<1$ por la prueba de relación. Pero no tenemos ni idea de hacia qué valor converge. ¿Algunas ideas?
Respuesta
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La suma de esta serie es $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\nu_2(n)x^n$ donde $\nu_2(n)$ es el 2-ádico orden de $n$.
Para ello, expanda cada denominador como una serie geométrica con el argumento de $x^{2^n}$. Esto da lugar a la serie como $$ \sum_{n=1}^{+\infty}x^{2^n}\sum_{k=0}^{+\infty}x^{k2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty}x^{k2^n}. $$ Ahora, corregir algunos $i\geqslant1$ y asumir que $i=2^\nu j$ $j$ impar. El plazo $x^i$ aparece en el doble de la suma en el lado derecho una vez para cada factorización de $i$ como un producto $(2^{\nu-1}j)\cdot2$, $(2^{\nu-2}j)\cdot2^2$, ..., y $j\cdot2^{\nu}$, $\nu$ veces.
Esta generación de la función no tiene forma simple pero los asociados de Dirichlet la generación de la función es $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\nu_2(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)}{2^s-1}. $$
