Grado de un campo de división sobre$ \mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema: Vamos

\begin{equation*} f(x) = x^4 - 2x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x] \end{ecuación*}

y $ E $ ser su división de campo. ¿Cuál es el grado de $ [E: \mathbb{Q}] $?

Primero de todo, las raíces de este polinomio son $ \pm \sqrt{1 + \sqrt{3}}, \pm \sqrt{1 - \sqrt{3}} $. Los dos primeros son reales y los otros dos son complejas. Parece como si $ E $ fue igual a $ \mathbb{Q}(\sqrt{1 + \sqrt{3}}, \sqrt{1 - \sqrt{3}}) $. El grado de estos elementos sobre los $ \mathbb{Q} $ $ 4 $ desde $ f(x) $ es irreductible por Eistenstein del criterio. Sin embargo, no puedo decir lo que el grado de $ \sqrt{1 - \sqrt{3}} $ $ \mathbb{Q}(\sqrt{1 + \sqrt{3}}) $ es, ya que no sé cómo comprobar si $ f $ es irreducible sobre este campo.

Agradecería cualquier idea sobre cómo llegar a ese

Answer 1

Insinuación: $1-\sqrt{3}\in\Bbb Q(\sqrt{1+\sqrt{3}})$.

Answer 2

Note que su campo es$\mathbb{Q}$,$\alpha$) donde$\beta$ y$\alpha$ son sus raíces explícitas y observe que$\beta$ $\alpha^2$= 2. Aplique ahora la multiplicación de grados sabiendo que cada uno de ellos es de grado 4 sobre$\beta^2$ y el otro es de grado 2 sobre la primera extensión, por la ecuación anterior de suma de cuadrados.