Aproximación de (n ^ n) ^ n

Question

Para ser específico, ¿cuál es la mejor manera de calcular la aproximación decimal de los primeros 10 dígitos de$$ \large \left(123456789^{123456789}\right)^{123456789}$ $?

Incluso WolframAlpha da el resultado en un poder de representación de 10 como$$ \large 10^{10^{10^{1.232768993649683}}}$ $ ¿Hay alguna otra manera de aproximar los primeros 10 dígitos aceptables en decimal?

Answer 1

Dejar $m = (n^n)^n = n^{n^2}$. Entonces, tomando logaritmos en la base 10,$\log{m} = n^2 \log{n}$. Por lo tanto, podemos escribir

$$ m = s \cdot 10^p$ $ Donde$s \in (1,10)$ se da exponenciando la parte fraccionaria de$n^2 \log{n}$, y$p$ es la parte entera de$n^2 \log{n}$. Los diez dígitos principales de$m$ están codificados en$s$.

Answer 2

Con $n=123456789$ los primeros 10 dígitos decimales de $m=(n^n)^n=n^{n^2}$ puede ser calculada de la siguiente manera (usando Pari/GP con 60 dígitos decimales de precisión):

$$a = \log_{10}m = n^2 \log_{10}n$$ $$a=123327462732871491.130863690559566545920203026360790125577391$$ (La parte entera de la $a$ explica la $1.23327\times 10^{17}$ dígitos decimales de su Wolfram enlace). Los dígitos a la izquierda de $m$ provienen de la parte fraccionaria $f$ $a$ $$f \approx0.130863690559566545920203026360790125577391$$ y se calcula como: $10^f$

$$m=10^f\times 10 ^{123327462732871491}$$ $$m\approx 1.351648262765413474237868427278 \times 10^{123327462732871491}.$$

Así, el líder de los 10 dígitos de $(123456789^{123456789})^{123456789}$ $1351648262.$


Aquí un ejemplo con menor $n=7$ donde se puede ver el número completo $m=(n^n)^n$ $$m=256923577521058878088611477224235621321607$$ $$a = \log_{10}m = n^2 \log_{10}n=41.40980396069858470489859667103917348$$ $$10^f=2.569235775210588780886114772242356213216070000$$