Imagen de punto de codimensión uno tiene codimensión uno?

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio (7.2.3) de Liu Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas:

Deje $f: X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de Noetherian esquemas. Supongamos que cualquiera de las $f$ es plana o $X,Y$ son integrales y $f$ es finito surjective. Deje $x \in X$ ser un punto de codimension $1$, e $y = f(x)$. Mostrar que $\dim \mathcal{O}_{Y,y} = 1$ si $f$ es finito surjective...

Es esta afirmación verdadera? El va-up teorema, sólo muestra que la $\dim V(y) = \dim V(x)$, que no es la misma cosa, ya que no es siempre cierto que $\dim V(y) + \dim \mathcal{O_{Y,y}} = \dim Y$. Me parece que debemos ir hacia abajo teorema, que requiere un adicional de normalidad de las hipótesis de $Y$. Creo que el problema es que el $\mathcal{O}_{Y,y} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}$ no es necesariamente finito.

Answer 1

No, esto no es cierto. Hay un famoso ejemplo de Nagata de un Noetherian dominio local $A$ de la dimensión de $2$ que tiene un número finito de overring $A \subset B$ con dos máximos ideales de $\mathfrak m, \mathfrak n \subset B$$\dim(B_{\mathfrak m}) = 2$$\dim(B_{\mathfrak n}) = 1$. Deje $X$ ser el espectro de $B$ $Y$ ser el espectro de $A$ y deje $x$ ser el punto correspondiente a la primer ideal $\mathfrak n$.

El ejemplo se puede encontrar en el Apéndice, en el Ejemplo 2 de Nagata del libro `Local de los anillos", publicado en 1962. Véase también la Etiqueta de 02JE.