Polinomios ciclotómicos y GCD

Question

Dado que los polinomios ciclotómicos son irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ , $\phi_n(x)$ , $\phi_m(x)$ son coprimos como polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ .

1. Trabajar sobre $\mathbb{Q}$ , $(\phi_n(x)$ , $\phi_m(x))=(1)$ . Esto implica que $(\phi_n(x), \phi_m(x))=(c)$ para algunos $c \in \mathbb{N}$ cuando se considera este ideal en $\mathbb{Z}[X]$ . ¿Puede esto $c$ se evaluará en función de $n,m$ ?
2. ¿Qué se puede decir sobre $f(x) = \gcd(\phi_n(x),\phi_m(x))$ cuando los polinomios se consideran escalares, es decir, evaluados en algún $x$ ? $\forall x: f(x) | c$ de la pregunta 1, pero ¿se puede decir algo más fuerte? Más concretamente, ¿cuál es la imagen de $f$ ?

EDITAR:

Este papel por Apostol, proporcionada en los comentarios a la respuesta de Greg, da una respuesta bastante buena, que Greg adivinó.

Básicamente calcula la resultante de 2 polinomios ciclotómicos, que da un número divisible por la constante óptima $c=(\phi_n(x), \phi_m(x))$ y es o bien 1 (cuando $\frac{n}{m}$ no es una potencia prima) o una potencia de un primo ( $p^{\phi(m)}$ cuando $\frac{n}{m}$ es una potencia de $p$ ).

Cuando es $1$ (el caso común), tenemos una respuesta completa para ambas preguntas. Cuando se trata de una potencia prima, sólo tenemos un límite superior para la multiplicidad ( $\phi(m)$ cuando $m|n$ ).

Este papel elemental da un resultado más débil, pero es más sencillo.

Answer 1

El resultado $R$ de dos polinomios $f,g$ tiene la propiedad de que existen otros polinomios $p,q$ tal que $p(x)f(x)+q(x)g(x) = R$ de forma idéntica. (Originalmente yo había afirmado que $|R|$ es el menor de los enteros positivos, pero esto parece ser incorrecto; ver los comentarios).

Por lo tanto su pregunta 1 está relacionada con el cálculo de la resultante de polinomios ciclotómicos distintos $\phi_n, \phi_m$ . Experimentalmente, la respuesta parece ser $1$ a menos que $m$ divide $n$ (o viceversa), en cuyo caso parece ser un poder de $n/m$ . Sólo echando un vistazo a algunos datos, parece que la respuesta es $\exp(\phi(m)\Lambda(n/m))$ , donde $\Lambda$ es la función de von Mangoldt.

Answer 2

Tenga en cuenta que $(x^m-1,x^n-1)=x^{(n,m)} - 1$ en $\mathbb{Z}[x]$ .
es decir $\exists p(x),q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $$(x^m-1)p(x)+(x^n-1)q(x)=x^{(n,m)}-1$$ .

Ahora bien, como $x^{(n,m)}-1\mid x^n -1$ y $x^{(n,m)}-1\mid x^m-1$ en $\mathbb{Z}[x]$
podemos decir que $$\frac{x^m-1}{x^{(n,m)}-1}p(x)+\frac{x^n-1}{x^{(n,m)}-1}q(x)=1.$$
Ahora bien, siempre que $a\mid b$ y $a<b$ tenemos $\phi_b(x)\mid\frac{x^b-1}{x^a-1}$ en $\mathbb{Z}[x]$ .

En consecuencia, siempre que $\min(n,m)>(n,m)$

tenemos $\phi_m(x)\mid\frac{x^m-1}{x^{(n,m)}-1}$ y $\phi_n(x)\mid\frac{x^n-1}{x^{(n,m)}-1}$ en $\mathbb{Z}[x]$ podemos decir $$\phi_m(x)\cdot\frac{x^m-1}{\phi_m(x)\cdot(x^{(n,m)}-1)}p(x)+\phi_n(x)\cdot\frac{x^n-1}{\phi_n(x)(x^{(n,m)}-1)}q(x)=1$$ Así, tenemos $1$ es el menor número expresable por $(\phi_n(x), \phi_m(x))$ siempre que $\min(n,m)>(n,m)$ . O una mejor manera de decirlo sería $$1\in (\phi_n(x), \phi_m(x))$$ cuando se ve como un ideal en $\mathbb{Z}[x]$

El caso en el que $n=mk$ vemos que $$\frac{x^{mk}-1}{x^m-1}=(x^m)^{k-1} + (x^m)^{k-2}+\dots+ (x^m) + 1 \equiv k \pmod{x^m-1}$$ $$\implies \frac{x^{mk}-1}{x^m-1} + (x^m-1)\cdot d(x) = k $$ para algunos $d(x)\in \mathbb{Z}[x]$
Desde $\phi_m(x)\mid x^m-1$ y $\phi_{mk}(x)\mid\frac{x^{mk}-1}{x^m-1}$ conseguimos que $$\phi_{mk}(x)\cdot\frac{x^{mk}-1}{\phi_{mk}(x)\cdot(x^m-1)} + \phi_m(x)\cdot\frac{x^m-1}{\phi_m(x)}\cdot d(x) = k$$ $$\implies k\in (\phi_m(x),\phi_{mk}(x))$$ cuando se ve como un ideal en $\mathbb{Z}[x]$ .

Sin embargo, no es necesariamente $k$ como se ilustra al tomar $m=1$ y $n=6$ y puede ser $k$ como ilustra el ejemplo $m=1$ y $n=3$ . De hecho, utilizando las propiedades usando un poco de teoría algebraica de números/campos ciclotómicos. Una vez se puede demostrar, $$(\phi_m(x),\phi_{mk}(x))\cap \mathbb{Z} = \begin{cases} \mathbb{Z}& k\neq p^r\\ p\mathbb{Z}, &k=p^r\\ \end{cases}$$ Para ver esto dejemos $z_n=exp(\frac{2\pi i}{n})$ denotan las enésimas raíces primitivas de la unidad.

Dejemos que $I_{m,k}=(\phi_m(x),\phi_{mk}(x))$ y $I_m=(\phi_m(x))$ . Entonces tenemos un mapa canónico $$R:=\frac{\mathbb{Z}[x]}{I_m}\longrightarrow \frac{\mathbb{Z}[x]}{I_{m,k}}$$ que nos dice que tenemos que determinar el ideal $(\phi_{mk}(z_m))$ en $R$ .

Ahora $$\phi_{mk}(z_m)=\prod_{(a,mk)=1}^{mk}(z_m-(z_{mk})^a)$$ $$\implies (\phi_{mk}(z_m))=\prod_{(a,mk)=1}^{mk}((z_m-(z_{mk})^a)) $$ Desde $z_m$ es una unidad $$(\phi_{mk}(z_m))=\prod_{(a,mk)=1}^{mk}((1-(z_{mk})^az_m^{-1}))$$ Nota $1-u$ es una unidad para todos los $t$ -raíces de la unidad donde $t$ no es una potencia de un primo.(Calcula $\phi_n(1)$ para ver esto). Así, el lado derecho será una unidad si k no es una potencia de un primo. Además, si $k=p^r$ , Si se eliminan las no unidades, se obtiene $$(\phi_{mk}(z_m))=\prod_{(a,k)=1 }^{k}((1-(z_{k})^a))$$ $$(\phi_{mk}(z_m))= (\phi_k(1))=(p)$$ Y así $\frac{R}{(p)}=\frac{R}{I_mk}= \frac{\mathbb{Z}[x]}{I_{m,k}}$ Lo que nos da el resultado ya que $pR\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$ .