Encuentre $\int_0^{2\pi}\frac{1-\frac{1}{4}\cos\theta}{1+\frac{1}{16}\cos^2\theta}d\theta$

Question

¿Cómo evaluar la siguiente integral? $$\int_0^{2\pi}\frac{1-\frac{1}{4}\cos\theta}{1+\frac{1}{16}\cos^2\theta}d\theta$$ Se trata de un ejercicio de análisis complejo . Parece una función holomorfa $f(z)$ que integramos a lo largo de una circunferencia y tomamos la parte real, pero no veo qué función podría producir eso. Más precisamente, por la fórmula integral de Cauchy, $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{i\theta})}{e^{i\theta}-z}ie^{i\theta}d\theta$$ así que traté de encontrar una función holomorfa y una $z\in\mathbb{C}$ tal que $$\Re\left(\frac{f(e^{i\theta})}{e^{i\theta}-z}ie^{i\theta}\right)=\frac{1-\frac{1}{4}\cos\theta}{1+\frac{1}{16}\cos^2\theta}$$ pero este intento fracasó.

Answer 1

La forma estándar de atacar integrales de este tipo (es decir, funciones racionales de seno y coseno sobre un ciclo completo) es sub $z=e^{i \theta}$ Entonces $d\theta=-i dz/z$ y $\cos{\theta}=\frac12 (z+z^{-1})$ y la integral se convierte en

$$-i \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{1-\frac18 (z+z^{-1})}{1+\frac{1}{64} (z+z^{-1})^2}$$

que es igual a

$$i 8 \oint_{|z|=1} dz \frac{ z^2-8z+1}{z^4+66 z^2+1}$$

Ahora puedes usar el teorema del residuo para evaluar la integral: encuentra los polos del integrando y evalúa los residuos de esos polos dentro del círculo unitario. Los polos están donde

$$z^4+66z^2+1=0 \implies z^2=-33\pm 8\sqrt{17} = -(\sqrt{17}\pm 4)^2$$

lo que significa que $z=\pm i \left (\sqrt{17}-4\right )$ o $z=\pm i \left (\sqrt{17}+4\right )$ . De ellos, sólo el primer par están dentro del círculo unitario, por lo que sólo necesitamos tomar los residuos en esos polos. La integral es $i 2 \pi$ veces la suma de estos residuos, que puede tomarse como el doble de la parte real de uno de los residuos. La expresión del residuo es

$$i 8 \frac{z^2-8 z+1}{4 z^3+132 z}$$

Enchufar $z= i \left (\sqrt{17}-4\right )$ y multiplicar por dos. La aritmética es complicada pero sencilla; el resultado es

$$\int_0^{2 \pi} d\theta \frac{1-\frac14 \cos{\theta}}{1+\frac{1}{16} \cos^2{\theta}} = \frac{8 \pi}{\sqrt{17}}$$

Answer 2

Cuando se tiene una integral de la forma

$$\int_0^{2\pi} R(\cos \theta,\sin\theta)\,d\theta,$$

donde $R$ es una función racional, a menudo es mucho más fácil evaluarla después de la sustitución $z = e^{i\theta}$ como integral de una función holomorfa sobre el círculo unitario. Con

$$\cos\theta = \frac12\left(z + \frac1z\right);\quad \sin\theta = \frac{1}{2i}\left( z - \frac1z\right);\quad d\theta = \frac{dz}{iz},$$

obtenemos

$$\int_{\lvert z\rvert = 1} R\left(\frac12\left(z+\frac1z\right),\, \frac{1}{2i}\left(z-\frac1z\right)\right)\, \frac{dz}{iz}.$$

Aquí, no tenemos ninguna ocurrencia de $\sin$ y obtenemos

$$\int_0^{2\pi} \frac{1-\frac14\cos\theta}{1+\frac{1}{16}\cos^2\theta}\,d\theta = \frac{1}{i}\int_{\lvert z\rvert = 1} \frac{1-\frac18(z+z^{-1})}{1+\frac1{64}(z+z^{-1})^2}\cdot\frac{dz}{z}.$$

Después de llevar el integrando racional a la forma canónica, se obtiene un integrando en forma relativamente simple, los ceros del denominador se encuentran fácilmente, y se puede evaluar esa integral con la fórmula integral de Cauchy (o el teorema del residuo, si ya lo conoces).

Answer 3

Pista:
Pruebe el sustituto $\cos{\varphi}=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}$ y $z=e^{i\varphi}.$ Entonces la integral se convierte en la integral de contorno a lo largo del círculo $|z|=1.$