Muestran que

Question

Sea$u, v, w$ tres puntos en$\mathbb R^3$ no estando en ningún plano que contenga el origen. ¿Podrías ayudarme a probar o refutar :$\alpha_1u+\alpha_2v+\alpha_3w=0\Rightarrow\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.$ Creo que esto es incorrecto, ya que de otro modo el Grado de la Matriz de Coeficientes tiene que ser 3. Pero para$u_1=(1,1,0),u_2=(1,2,0),u_3=(1,3,0)$, ( Grado de la Matriz de Coeficiente correspondiente ) #%.

¿Estoy bien?

Answer 1

Todo es cuestión acerca de si los vectores $u$, $w$, y $w$ son linealmente independientes. Vamos a asumir que ellos son linealmente dependientes. A continuación, con pérdida de generalidad se puede suponer que la $u = a_1v+ a_2w$$(a_2,a_2) \neq (0,0)$. Que significa que el intervalo de $u,v,w$ es el lapso de $v$$w$. Suponiendo que estos son linealmente dependientes, entonces el intervalo de $u,v,w$ es un avión: $$ su + tw,\quad s,t\in \mathbb{R}. $$ Esto, obviamente, contiene el origen.

Si $v$ $w$ también son linealmente dependientes, entonces el intervalo de $u,v,w$ es una recta que pasa por el origen, por lo que cualquier plano que contiene a los tres puntos que contendrá el origen.

Hemos demostrado que si los vectores son dependientes, entonces no es un plano que contiene a todos ellos (los puntos), que también contiene el origen. Por el contrario, si los tres vectores de satisfacer cualquier plano que contiene todos los puntos no contienen el origen, los tres vectores deben ser linealmente independientes.

Answer 2

Con $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(1,2,0)$, $u_3=(1,3,0)$

Sea $ A = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end {pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end {pmatrix} $

Tenemos$\det A = 0$$\implies$$u_1, u_2, u_3$ está linealmente dependiente$\implies$ estás equivocado!