Aquí están los detalles de mi comentario anterior.
Una matriz de $A\in SL(2,{\mathbb Z})$ se llama Anosov si sus valores propios tienen valor absoluto diferente de $1$. Equivalentemente, $tr(A)\notin [-2,2]$.
Dado que cualquiera de los dos distintos 1-dimensiones de los subespacios $L_1, L_2\subset {\mathbb R}^2$ no hay una única, a escala, bilineal no degenerada forma de $b$ ${\mathbb R}^2$ que se desvanece en ambas líneas. (Si $e_i$ es una generación de vectores de $L_i$, entonces la forma $b$ está determinada únicamente por $b(e_1,e_2)$. Por ejemplo, si $L_1, L_2$ son los ejes de coordenadas, a continuación,$b(x,y)=xy$.)
De esta forma define una Lorenztian métrica en ${\mathbb R}^2$. Si $A\in SL(2, {\mathbb R})$ conserva las líneas de $L_1, L_2$ a continuación, se conserva la forma$b$. Ahora, dado un Anosov matriz $A\in SL(2, {\mathbb Z})$ deje $L_1, L_2$ ser sus subespacios propios (tanto los autovalores tienen que ser reales y distintas) y $b$ la correspondiente forma bilineal que ha de ser invariante bajo $A$. La transformación lineal $A$ preserva la norma entero entramado ${\mathbb Z}^2$ ${\mathbb R}^2$ y, por lo tanto, desciende a un automorohism $f: T^2= {\mathbb R}^2/{\mathbb Z}^2$. La forma bilineal desciende a un plano Lorenzian métrica $g$ $T^2$ invariantes bajo la automorphism $f$. Por lo tanto, $Isom(T^2, g)$ contiene el infinito cíclico grupo $\Gamma$ generado por $f$. Yo reclamo que $\Gamma$ no figura en ningún Mentira grupo $G$ con un número finito de componentes que actúan (topológicamente) en $T^2$. De hecho, $f$ induce un infinito de orden automorphism en el 1er grupo de homología $H_1(T^2, {\mathbb Z})$, es decir, aquella dada por la matriz $A$, donde se utilizan las proyecciones de la norma de coordenadas de los vectores en ${\mathbb R}^2$ como los generadores de la homología del grupo. Si $G$ es un subgrupo de $Homeo(T^2)$ contiene $\Gamma$, entonces la ruta de acceso conectado componente de identidad $G^0$ $G$ actos trivialmente en el 1 er grupo de homología $H_1(T^2, {\mathbb Z})$. Por lo tanto, si $G$ tiene sólo un número finito de componentes conectados, a continuación, la imagen de $G$ $Aut(H_1(T^2, {\mathbb Z}))$
es finito. Por lo tanto, la automorphism $f$ por encima de no pertenecer a ese $G$. Ya que cada grupo compacto tiene sólo un número finito de componentes conectados, se deduce que el $f$ no pertenecen a ninguna compacto Mentira subgrupo de $Homeo(T^2)$. Desde el grupo de isometría de cualquier pseudo-Riemann múltiple es una Mentira grupo, se deduce que el $Isom(T^2, g)$ es noncompact. qed
