No hay diferencia entre un espacio metrizable y un espacio métrico (prueba incluida).

Question

Willard dice, "Siempre $(X,\tau)$ es un espacio topológico cuya topología $\tau$ es la métrica de la topología $\tau_{\rho}$ para algunos métrica $\rho$$X$, llamamos a $(X,\tau)$ un topológico metrizable espacio."

Creo que dar una prueba es la mejor manera de ilustrar lo que yo pienso de estos conceptos y de ilustrar los puntos exactos que no estoy entendiendo.

Teorema: espacio Métrico iff espacio metrizable.

(->) Vamos a $(X,\rho)$ ser un espacio métrico. Considerar la topología generada por esta medida, $\tau_{\rho}$. A continuación, $(X,\tau_{\rho})$ es un espacio topológico cuya topología es la métrica de la topología para algunos métrica, por tanto, por definición, metrizable.

(<-) Vamos a $(X,\tau)$ ser un espacio metrizable. No $\exists \rho$ una métrica que $\tau$ es la métrica de la topología dada por $\rho$. Y por lo $(X,\rho)$ es un espacio métrico.

Answer 1

Un espacio métrico es un par ordenado $\langle X,d\rangle$ tal que $X$ es un conjunto y $d$ es una métrica en $X$. Un espacio metrizable es un par ordenado $\langle X,\tau\rangle$ tal que $X$ es un conjunto, $\tau$ es una topología en $X$, y existe una métrica en $X$ que genera la topología $\tau$. Estos claramente no son la misma cosa. Un espacio métrico tiene una métrica especificado, y la topología, aunque definibles a partir de la métrica, es indeterminado; un espacio metrizable tiene una topología específica, y si bien es posible definir métricas que generan que la topología, no se especifica ninguno.