Si el número complejo$z(z\neq2)$ satisface la ecuación:$z^2=4z+\lvert z\rvert^2+\frac{16}{\lvert z\rvert^3}$, entonces ¿cuál es el valor de$\lvert z\rvert^4$?
Mi intento: Traté de tomar$z=x+iy$ y resolví el valor de$\lvert z\rvert^4$, pero cada vez terminé obteniendo un valor mayor que$9$.
Sugerencia - La respuesta está entre$0$ y$9$, ambas incluidas.
Esta cuestión PUEDE resolverse asumiendo $z=x+iy$donde $x$ $y$ son reales.
La ecuación dada se puede escribir como $$z^2-4z= |z|^2+ \frac{16}{|z|^3}$$
Conectar $z=x+iy$ y
$$x^2-y^2 +2ixy -4x-4iy=x^2+y^2 + \frac{16}{(\sqrt{x^2+y^2})^3}$$
tomando los términos complejos a un lado, obtenemos$$2iy(x-2)=2y^2+4x+\frac{16}{(\sqrt{x^2+y^2})^3}$$
Pero si x e y son números reales, entonces la LHS, no puede ser igual a la RHS, como uno es un número real y el otro es un número complejo . Esto significa que el lado izquierdo debe ser cero.
$\implies y=0$ o $x=2$.
En primer lugar vamos a comprobar para $y=0$. La ecuación se reduce a $$4x+\frac{16}{|x|^3}=0 \implies x=-\sqrt2$$
Por lo tanto $z=-\sqrt2$
$|z|^4 = 4$
NOTA x no puede ser igual a 2, porque entonces, la expresión puede tener ningún valor real para y.(usted puede comprobar usted mismo)
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