Por desgracia, no creo que los argumentos que mencionas son lo suficientemente fuertes como para hacer un caso convincente. Antes de abordar $\mathsf{GCH}$ adecuado, tenga en cuenta que, en realidad:
- $\omega_1$ y los otros cardenales que aparecen en las matemáticas. Por ejemplo, transfinito iteraciones de duración $\omega_1$ no son infrecuentes en el análisis (un simple ejemplo de esto es que los conjuntos de Borel puede ser presentada como la unión de una creciente cadena de longitud $\omega_1$, y esta representación es útil más allá de simplemente diciendo que ellos son la $\sigma$-álgebra generada por el abierto de conjuntos). El cardenal $\omega_1$ aparece de forma natural en el descriptivo de la teoría de conjuntos (atado a la negrita $\Pi^1_1$ juegos) y cardenales (no necesariamente beth números) aparecen también en este contexto.
- $\mathsf{ZFC}$ puede probar una gran cantidad de información acerca de beth números sin ningún tipo de restricciones en el cardenal de la aritmética. Por ejemplo, como se señaló en esta respuesta, el beth números aparecen de forma natural al estudiar el espectro del problema en el modelo de la teoría. Esa respuesta también menciona uno de Sela mejores resultados conocidos en el cardenal de la aritmética, que $\aleph_\omega^{\aleph_0}$ es el continuo, o menos de $\aleph_{\omega_4}$. Estos resultados son invisibles bajo una fuerte cardenal aritmética de las restricciones. El cardenal de la aritmética, de hecho, tiene mucho que decir cuando no estamos de "banalizar" asumiendo $\mathsf{GCH}$ o similares. Por ejemplo, hay resultados que son conocidos a de $\beth_\omega$, pero puede fallar por un segmento inicial de los cardenales. El hecho de que no tenemos tan extensa muestra una lista de resultados sin una fuerte cardenal aritmética de las restricciones es simplemente porque tales restricciones eran generalmente adoptado en resultados clásicos, y sólo hace relativamente poco tiempo que hemos estado explorando el paisaje sin ellos. También está el hecho evidente de que el estudio del cardenal invariantes de la continuidad desaparece si adoptamos $\mathsf{CH}$; no es significativo en la estructura de aquí, que probablemente se encuentre en $\mathsf{ZFC}$, pero $\mathsf{CH}$ oculta.
- Equiconsistency no parece un buen argumento para la adopción de un axioma. Reemplazo hace $\mathsf{ZFC}$ estrictamente más fuerte que $\mathsf{ZC}$, y es esta fuerza la que hace que sea deseable axioma a adoptar. Gran cardenal axiomas ir más allá de $\mathsf{ZFC}$, y son rutinariamente toman para concedido a la hora de estudiar la proyectiva de la jerarquía o de la determinación. De hecho, la escalera de la consistencia de la fuerza de la jerarquía es uno de los más notables matemáticos de los objetos que se han descubierto. Uno podría argumentar en lugar de que las extensiones de $\mathsf{ZFC}$ debe ser tan fuerte como sea posible para dar cabida a todo el discurso matemático, que $\mathsf{ZFC}$ está en la fuerza demasiado débil para hacer esto correctamente.
Con eso fuera del camino, tenemos que considerar qué es lo que esperamos lograr con extensiones de $\mathsf{ZFC}$. Por ejemplo, podemos querer un rico universo matemático, con tantos ejemplos como sea posible, incluso en el nivel de los reales. $\mathsf{CH}$ nos da: Bajo este supuesto, hay muchos que no isomorfos lineales órdenes de tamaño $\omega_1$, hay discontinuo homomorphisms entre álgebras de Banach, etc. Los analistas tienden a adoptar las $\mathsf{CH}$ por esta razón. Cuando queremos un lugar muy universo ordenado, con fuertes resultados de clasificación, la alternativa son los axiomas adoptado, generalmente en la forma de obligar a los axiomas. He elaborado esta, en cierta medida, y proporcionar algunas referencias, aquí.
Es cierto que muy pocas conjunto de los teóricos de ver indómita cardenal aritmética como una patología, en lugar de una virtud. (Sela es una notoria excepción). Aún así, $\mathsf{GCH}$ parece imperdonable restrictiva, normalmente porque es bastante fácil de violar con leve forzar. Por esta razón, $\mathsf{SCH}$, el singular cardenal hipótesis, se considera más razonable, de declaración del deseo. (Yo no estoy haciendo esto aquí, pero incluso se podría dar el caso que una versión de esta declaración debe ser parte de cualquier extensión de $\mathsf{ZFC}$ terminamos de acordar en el futuro. A diferencia de $\mathsf{GCH}$, $\mathsf{SCH}$ suele ser conservados por forzar. De hecho, es visto como "cofinally true" en el universo, ya que mantiene más allá fuertemente compacto cardenales. Es implicado por una variedad de reflexión principios y obligando a los axiomas, por lo que es algo espera que en virtud de la heurística que el universo de los conjuntos debe ser tan alto y tan ancho como sea posible.
Por otro lado, uno podría esperar que el universo de los conjuntos de estar cerca de una multa de modelo estructural. Modelos que poseen una estructura fina satisfacer fuerte versiones de $\mathsf{GCH}$, por lo que este no es irrazonable axioma aspiran. De hecho, Woodin recientes "ultimate $L$" programa tiene como objetivo el desarrollo de una teoría del universo que sería compatible con todos los grandes cardenales y poseen fina-características estructurales. Si este programa se realiza correctamente, tendríamos una plantilla de la que podríamos probar la consistencia de cualquier declaración razonable por medio de forzar, por lo que el universo podría ser visto como un forzando la extensión de una se porta muy bien fina núcleo estructural. Cualquier otra competencia "finalización" se espera que sea mutuamente interpretables con esta alternativa.
Ahora, la mención de la mutua interpretación nos lleva a un punto interesante. El argumento puede ser hecho que no puede ser un "distinguido" la finalización de $\mathsf{ZFC}$, que cualquiera de las dos teorías son igualmente deseables si son mutuamente interpretables. (Un multiverso de vista, si lo desea.) Este artículo reciente por Juan de Acero elaborado en este punto de vista. Bajo este enfoque, la cuestión de si $\mathsf{GCH}$ debe ser adoptado es discutible.
Incluso si no seguimos esa ruta, yo creo que no tienen una fuerte evidencia para defender plenamente $\mathsf{GCH}$. Sin embargo, uno se puede dar el caso de que $\mathsf{CH}$ es deseable axioma tener. Woodin ha demostrado ser un maximality resultado, mostrando que $\mathsf{CH}$ "decide" todos los $\Sigma^2_1$ declaraciones. (Un poco más formalmente, bajo apropiado de grandes cardenales, cualquier declaración que pueda ser forzado realmente se sostiene en la presencia de $\mathsf{CH}$. Tenga en cuenta que $\mathsf{CH}$ sí es una $\Sigma^2_1$ declaración).
Por otro lado, hace un par de años, Woodin presentó un programa que parecía concluir en forma bastante general de la base de que $\lnot\mathsf{CH}$ fue la opción razonable. Simplificando, el argumento era: a partir De los grandes cardenales, tenemos una "completa" teoría de la $H(\omega_1)$ y, en particular, su teoría no puede ser modificado por un conjunto de forzar en virtud del gran cardenal supuestos. Del mismo modo, podemos tener una "completa" teoría de la $H(\omega_2)$; por ejemplo, Woodin introdujo un principio de $(*)$ que implica esto, e implica la negación de la $\mathsf{CH}$ (de nuevo, bajo grandes cardenales). En contraste, se afirmó que no hay tal "completar" la teoría de que existe compatible con $\mathsf{CH}$. Sin embargo, un error fue encontrado en la prueba de esta afirmación, por lo que el argumento de $\lnot\mathsf{CH}$ por estos motivos ha perdido fuerza.
Hoy en día, los defensores de la negación de la $\lnot\mathsf{CH}$ están dispuestos a renunciar a la "condicional maximality" que $\mathsf{CH}$ ofrece. Pero normalmente uno no discute por $\lnot\mathsf{CH}$ directamente, sino por los principios que (generalmente por razones técnicas) terminan implicando $\lnot\mathsf{CH}$.
Mi opinión sobre la $\mathsf{GCH}$, tal como es, es que en primer lugar, estamos muy lejos de tener suficiente matemática evidencia para tomar una decisión. Y segundo, lo que acabamos de adoptar no debe estar directamente este axioma (o su negación), pero si se mantiene o no debe ser una consecuencia de profundos principios estructurales, y la naturaleza exacta de esos principios aún no se ha desarrollado hasta el punto en donde podemos aventurar una suposición. Confieso que soy parcial a los grandes cardenales, y a una fuerte reflexión de los principios, así que no me opongo a $\mathsf{SCH}$. (Pero tenga en cuenta que no estoy abogando por grandes cardenales o forzar a los axiomas o, como aquí, sólo estoy señalando que los argumentos en su favor se han avanzado, y me parece más convincente y amplio que el de los argumentos que soy consciente de su negación.) Me parece que la estructura del continuo proporcionado por obligando a los axiomas algo más atractivo que el salvaje salvaje riquezas traídas por $\mathsf{CH}$.
Pero, de nuevo, como he dicho, no importa si es fuerte el cardenal aritmética restricciones terminan siendo parte de la aceptación de los axiomatization de la teoría de conjuntos, espero que esta va a ser una consecuencia de otros principios, en lugar de que se acaba de aprobar, como un axioma en su propio.
