¿Existe un enfoque en la teoría de conjuntos en el que tengamos una definición de conjunto, o siempre consideramos la noción de conjunto como una noción primitiva que no puede definirse en términos de otras nociones previamente definidas?
El $\lambda$ -El cálculo (y otros sistemas similares definidos mediante combinadores) puede verse como un intento de definir un mundo matemático en el que todo es una función. Véase https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Illative_combinatory_logic para las referencias.
Los trabajos más recientes sobre sistemas de fundamentos matemáticos de este tipo suelen incluir alguna noción de tipo (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_type_theory ) y es un tema de debate si los fundamentos teóricos de tipos y los fundamentos teóricos de conjuntos son realmente diferentes. Los defensores de la teoría de tipos suelen decir que sí lo son.
Hay candidatos a teorías fundacionales, como la teoría de categorías y las teorías que menciona Rob, en las que la noción de "conjunto" no es primitiva, pero no creo que cuenten como teorías de conjuntos aunque resulten ser mutuamente interpretables con las teorías de conjuntos.
En la teoría de conjuntos puedes acercarte a lo que quieres, creo, con Teoría de conjuntos NBG (la formulación de una sola clase) en la que "clase" es la noción primitiva y un conjunto se define como una clase que está contenida en alguna otra clase.
Porque muchos libros de introducción a la teoría de conjuntos dicen que "un conjunto es una colección bien definida de objetos distintos" y aquí "objeto" es siempre una noción primitiva. Y por cierto ¿qué significa "bien definido" en esta frase? ¡gracias!
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Si crees en el axioma de la fundación, puedes tomar $\emptyset$ como su noción primitiva. Luego, todos los demás conjuntos provienen de operaciones de iteración de conjuntos de potencias y de unión. Busca en el universo bien fundado para más información sobre esto.
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@William Bueno, eso es en $\sf ZFC$ . El OP no se limita a $\sf ZFC$ Creo que sí.
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@William: ¿Cómo se define un "conjunto de energía" sin apelar al "conjunto" en primer lugar?
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Para definir formalmente lo que es un conjunto (por ejemplo $x$ es un conjunto si...), también habría que definir qué es no un conjunto. No parece posible.
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Si, por ejemplo, se define $x$ es un conjunto si $\exists a\in x$ entonces el llamado conjunto vacío no podría existir. Eso sería muy problemático.