Intersección transversal.

Question

En mi libro de texto, que dice: "Considerar dos curvas en el plano, uno de los cuales es el eje de las x, y la otra es la gráfica de una función de $f(x)$. Las dos curvas se cruzan de manera transversal en un punto x si $f(x)=0$ (la intersección de la condición), y $f'(x)\neq0$ (transversalidad)." Yo sé que: "Dos submanifolds de un determinado finito dimensionales suave colector se dice que cruzan transversalmente si en cada punto de intersección, se separan de la tangente espacios en que punto de generar el espacio de la tangente de la temperatura del colector en ese punto." De: Transversalidad (wikipedia). En el ejemplo de mi libro de texto, ¿cuáles son los espacios tangente al eje de las x y la gráfica de la función $f(x)$? ¿Cuál es el espacio de la tangente de la temperatura del colector?

Muchas gracias

Answer 1

El espacio de la tangente del eje x (en un punto dado) es de nuevo el eje de las x (porque es horizontal, es decir, la derivada es cero). A continuación, el espacio de la tangente de la gráfica de $f(x)$ es lo que es, pero la clave es que cuando se intersecta con el eje x, el espacio de la tangente en ese punto de intersección es no horizontal (es decir, no el eje de las x). Así que usted tiene un vector tangente en el eje x (que es necesariamente horizontal) y un vector tangente a la gráfica de f(x) (que no es necesariamente horizontal), y por lo tanto, estos dos vectores son linealmente independientes, por lo tanto abarcan todo el avión (de acuerdo con Wikipedia)!

Answer 2

Tangente espacios en los puntos de $\mathbb{R}^n$ son, naturalmente, identificado con $\mathbb{R}^n$ (ver el espacio de la Tangente en Wikipedia). Así que en un punto de $\mathbf{x}=(x,0)$ en el eje x del espacio de la tangente del espacio ambiente (es decir,$\mathbb{R}^2$)$\mathbb{R}^2$, el espacio de la tangente de x-axis es $\mathbb{R}^1$, y el espacio de la tangente a la gráfica es la recta que pasa por el punto de $\mathbf{x}=(x,0)$ en la pendiente $f'(x)$. Si usted toma una base tanto de la tangente a las líneas de la par resultante será la base en el plano tangente, por lo tanto la transversalidad.

Answer 3

El colector tangente a$\mathbb{R}^2$ es$\mathbb{R}^2$. El espacio tangente al eje x está cubierto por$(1,0)$ y el espacio tangente a la función es la pendiente$f'(x)$ line, un espacio que está cubierto por$(1,f'(x))$. Estos dos espacios abarcan$\mathbb{R}^2$ siempre que$f'(x) \neq 0$.