¿Cómo uno llega con una fracción continua?

Question

Todo el lugar en Wikipedia, veo un montón de identidades relativas a las fracciones continuas, como $$\arctan x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{4x^2}{5+\cfrac{9x^2}{7+...}}}}$$ o $$\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+...}}}}$$ ¿Cómo hace uno para comprobar estas? Ni siquiera he logrado demostrar una sola de ellas todavía.

Además, aparte de demostrar a ellos, ¿cómo hace uno para derivar de ellos? Es decir, ¿cómo hace uno para venir para arriba con algo como esto?

Sé cómo evaluar más simple fracciones continuas, como $$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+...}}}$$

Pero no sé cómo evaluar la nada, donde los términos en el interior siga algún otro tipo de secuencia.

¿Alguien puede dar una prueba (o, preferiblemente, derivación) de una de las dos identidades de arriba, o algún otro continuó fracción de identidad? ¿Alguien puede darme alguna manera de ir sobre estos tipos de problemas.

Answer 1

Tenga en cuenta que han de Euler continuó fracción fórmula, que establece:

$$a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\=\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{{n-1}}}{1+a_{{n-1}}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}$$

Esto puede ser fácilmente comprobado por inducción y se presta para una fácil conversión de una serie en una fracción. Por ejemplo, sabemos que:

$$\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-2)^nx^{2n+1}}{2n+1}$$

Set $a_0=x$ y de manera inductiva,

$$a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+3}}{2n+3}\prod_{k=0}^n(a_k)^{-1}=-\frac{2n+1}{2n+3}x^2$$

Y luego, después de algunos álgebra, usted será capaz de obtener el

$$\arctan(x)=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{4x^2}{5+\cfrac{9x^2}{7+\ddots}}}}$$

Enchufe $x=1$ y hacer algunas más de álgebra y que terminará con la fórmula para $\pi$.