No hay ninguna técnica en general, pero hay algunos principios simples. Uno es el estudio del comportamiento de la cola de $f$ por comparación con manejable funciones.
Por definición, la expectativa es el doble del límite (como $y$ $z$ variar de forma independiente)
$$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$$
El tratamiento de las dos integrales de la derecha es el mismo, así que vamos a centrarnos en lo positivo. Un comportamiento de $f$ que asegura un valor de limitación es compararlo con el poder $x^{-p}$. Supongamos $p$ es un número para que $$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$$ This means there exists an $\epsilon\gt 0$ and an $N\gt 1$ for which $x^p f(x) \ge \epsilon$ whenever $x\in[N,\infty)$. We may exploit this inequality by breaking the integration into the regions where $x\lt N$ and $x \ge N$ y aplicarlo en la segunda región:
$$\eqalign{
\int_0^z x f(x) dx y=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\
&=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\
&\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\
&= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right).
}$$
Siempre $p\lt 2$, el lado derecho diverge como $z\to\infty$. Al $p=2$ la integral se evalúa el logaritmo,
$$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$$
que también diverge.
Comparable análisis muestra que si $|x|^pf(x)\to 0$$p\gt 2$, $E[X]$ existe. Del mismo modo podemos probar si en cualquier momento de la $X$ existe: para $\alpha\gt 0$, la expectativa de $|X|^\alpha$ existe al $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ algunos $p\gt 1$ y no existe al $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ algunos $p \le 1$. Esto se refiere a la "cuestión general."
Vamos a aplicar este conocimiento a la pregunta. Por la inspección está claro que $a(x)\approx |x|/\sigma_1$ grandes $|x|$. En la evaluación de $f$, por lo tanto, puede colocar ningún tipo de aditivo términos que finalmente será inundado por $|x|$. Por lo tanto, hasta un valor distinto de cero constante, para $x\gt 0$
$$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$$
Por lo tanto $x^2 f(x)$ se aproxima a un valor distinto de cero constante. Por el resultado anterior, la expectativa diverge.
Desde $2$ es el valor más pequeño de $p$ que trabaja en este argumento,$|x|^pf(x)$ va a ir a cero, como se $|x|\to\infty$ cualquier $p\lt 2$--está claro (y un análisis más detallado de $f$ va a confirmar) que la tasa de divergencia es logarítmica. Es decir, para un gran $|y|$ y $|z|$, $E_{y,z}[f]$ puede ser aproximó por una combinación lineal de $\log(|y|)$$\log(|z|)$.
