¿Cómo riguroso debe ser a prueba de mi teoría?

Question

Estoy trabajando en un problema del libro "Introducción a la Topología" por Bert Mendelson:

Si $A_1\subset A_2, A_2\subset A_3, \ldots , A_{n-1}\subset A_n$, e $A_n \subset A_1$, demuestran que, a $A_1=A_2=\cdots=A_n$.

Sé cómo probar esto, pero mi pregunta es ¿cómo riguroso mi prueba debe ser. Por ejemplo, para hacer mi prueba más fácil, me demostró lo siguiente "lema":

Si $H$ $J$ son conjuntos, $H \subset J$, e $J\subset H$,$H=J$.

Mi prueba fue como este:

A partir de lo dado, podemos determinar que $$\alpha \in J, \forall \alpha \in H$$ $$\beta \in H, \forall \beta \in J$$ Lo que significa que $$\alpha \in J, \forall \alpha \in H$$ $$\neg \beta \notin H, \forall \beta \in J$$ y por lo $H=J$.

Después me fui a probar que $$A_k\subset A_{k+1}, A_{k+1}\subset A_k, \forall k \le n$$

Es mi "lema" prueba suficiente de la prueba? Este es un básico lema que parece que no debería ser obvio... pero, de nuevo, cuando algo que parece obvio, a veces no lo es. Es esto lo suficientemente riguroso? Es demasiado riguroso?

Answer 1

Si realmente quería formal, deshacerse de la $\ldots$ y demostrarlo por inducción:

Para $n=2$ (el mínimo caso) tenemos $A_1 \subset A_2$$A_2 \subset A_1$. Esto significa $A_1 = A_2$, por definición, de $=$.

Supongamos que tenemos la declaración de la celebración de $n$ conjuntos, y tome $n+1$ conjuntos de obedecer la hipótesis: $A_1 \subset A_2 \subset, \ldots \subset A_{n-1} \subset A_n \subset A_{n+1}$$A_{n+1} \subset A_1$. Como $A_n \subset A_{n+1} \subset A_1$ simple transitividad de la $\subset$ nos da $A_n \subset A_1$. Pero luego olvidarse de $A_{n+1}$ por un tiempo, tenemos $n$ conjuntos de obedecer a la hipótesis, y así se nos permite concluir $A_1 = A_n$. Por lo $A_{n+1} \subset A_1 = A_n \subset A_{n+1}$ y tenemos $A_1 = A_{n+1}$ como se requiere. Esto concluye la inducción de paso.

Por lo que tiene para todos los $n$.

Answer 2

Opinión en base a respuesta.

Creo que estás confundiendo "rigor" con "cosas de escribir utilizando símbolos de cuantificación y otros símbolos en lugar de palabras".

Preguntarle cuál es su lema, que es de hecho casi obvio. Si fuera necesario demostrarlo yo diría

Para probar que dos juegos igual tienen que demostrar que contienen los mismos elementos. La primera inclusión dice que cada elemento de $H$ $J$, el segundo dice que todos los elementos de $J$ $H$, entonces, hacer.

Answer 3

En teoría de conjuntos la notación $A\subseteq B$ es realmente una abreviatura para: $$\forall x[x\in A\implies x\in B]$ $

Esto hace que $\subseteq$ un preorder en los sets (reflexiva y transitiva).

Entonces el axioma de extensionalidad es la declaración que esta relación también es anti simétrica: %#% $ de #% esto hace que el % de relación $$A\subseteq B\wedge B\subseteq A\implies A=B\tag1$un orden parcial.

En mi punto de vista $\subseteq$ no es una afirmación que puede ser probada, pero es una declaración basada en una abreviatura y un axioma.

Answer 4

Yo diría que esto depende de tu audiencia.

Un tipo de audiencia puede ser lo suficientemente familiarizado con ese Lema de que usted no tiene que proporcionar toda una prueba separada para él. Y, de hecho, para algunas audiencias, una vez que han demostrado que $A_1\subset A_2, A_2\subset A_3, \ldots , A_{n-1}\subset A_n$, e $A_n \subset A_1$, entonces para ellos es obvio que $A_1=A_2=\cdots=A_n$, así que no hay nada que demostrar aquí. Pero para otros (posiblemente a su instructor que los grados de la prueba!), se necesitan más detalles.

Es de suponer que el contexto (por ejemplo, el "nivel" en el que el libro de texto está escrito ... y cuánto detalle se ha ido a otras pruebas en el texto) le dará una idea bastante buena de como el grado de detalle que debe ser.

Answer 5

Mi libro define el axioma de extensionalidad (es decir, el axioma que define lo que significa para que conjuntos de idéntico) como:

$\forall A \ \forall B \ (\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B)$

y $A \subseteq B$ se define como:

$\forall A \ \forall B \ (A \subseteq B \rightarrow \forall x (x \in A \rightarrow x \in B))$

así, puede derivar $A=B$ $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$