Una función compleja muy complicada integral

Question

Que estoy enfrentando un integral muy complicado. Es un problema en un examen. Necesitamos caculate siguiente límite:

%#% $\lim_{x\rightarrow \infty} \int_{L_x}\frac{\cos z}{z^2+1} dz,$ #% Dónde está la línea de $L_x$ $-x+2i$.

Por supuesto podemos calcular las integrales de la parte real y parte imaginaria por separado. Pero sería extremadamente complicado. Creo que no puede ser la solución adecuada ya que no se hace en el momento de un examen.

Answer 1

Primero observe que podemos escribir

$$\lim_{x\to \infty}\int_{L_x}\frac{\cos(z)}{z^2+1}\,dz=\lim_{x\to \infty}\left(\frac12\int_{L_x}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\,dz+\frac12\int_{L_x}\frac{e^{-iz}}{z^2+1}\,dz\right)\tag 1$$

Podemos evaluar el límite de cada una de las integrales sobre el lado derecho de la $(1)$ usando el teorema de los residuos.

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Para la primera integral, vamos a cerrar el contorno en la mitad superior del plano. Por cuanto ni el polo está encerrada por el contorno, vemos que

$$\lim_{x\to \infty}\left(\frac12\int_{L_x}\frac{e^{iz}}{z^2+1}\,dz\right)=0$$

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Para la segunda integral, vamos a cerrar el contorno de la parte inferior de la mitad del plano. En cuanto ambos polos están cerrados, hemos

$$\begin{align} \lim_{x\to \infty}\left(\frac12\int_{L_x}\frac{e^{-iz}}{z^2+1}\,dz\right)&=-\pi i \text{Res}\left(\frac{e^{-iz}}{z^2+1}, z=\pm i\right)\\\\ & =-\pi i \left(\frac{e}{2i}+\frac{e^{-1}}{-2i}\right)\\\\ &=-\pi \sinh(1) \end{align}$$

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Poniendo todo junto, vemos que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to \infty}\int_{L_x}\frac{\cos(z)}{z^2+1}\,dz=-\pi \sinh(1)}$$

Answer 2

Consideremos un rectángulo $\gamma_R$ con vértices en $-R,R,R+2i,-R+2i$, hacia la izquierda orientado, con $R\gg 1$ y $f(z)=\frac{\cos(z)}{z^2+1}$. Por el lema de ML y el teorema del residuo

$$\begin{eqnarray*}\oint_{\gamma_R}f(z)\,dz &=& \int_{-R}^{+R}\frac{\cos(z)}{z^2+1}\,dz - \int_{-R+2i}^{R+2i}f(z)\,dz + o(1)\\&=& 2\pi i\cdot\text{Res}\left(f(z),z=i\right)=\pi\cosh(1) \end{eqnarray*}$ $ $R\to +\infty$, por lo tanto, para calcular el límite dado es suficiente para calcular % $$$ \lim_{R\to +\infty}\int_{-R}^{+R}\frac{\cos(z)}{z^2+1}\,dz =\text{Re}\left[2\pi i\cdot \text{Res}\left(\frac{e^{iz}}{z^2+1},z=i\right)\right]=\frac{\pi}{e}$para obtener:$$\lim_{R\to +\infty}\int_{-R+2i}^{R+2i}f(z)\,dz = \color{red}{-\pi\sinh(1)}.$ $