Ayudar a entender una desigualdad en una prueba

Question

Supongamos un producto interno estándar y una norma 2. $A$ es cualquier valor real simétrico $n\times n$ matriz cuadrada. $V_k$ es un $n\times k$ matriz cuyas columnas son ortonormales. $T_k$ es una matriz tal que tiene la siguiente relación con $A$ y $V_k$ :

$AV_k=V_kT_k+{\hat v}_{k+1}e_k^T$

donde ${\hat v}_{k+1}$ es otro vector ortogonal a cada columna de $V_k$ y $e_k^T = (0,...,0,1)$ es un vector con sólo el $k$ El componente 1 es el más importante. Necesito entender la siguiente prueba, pero me he atascado en una desigualdad. Esta es una prueba sobre el límite de error de la iteración de Lanczos.

La prueba anterior utiliza

Para aplicar Cauchy-Schwarz, que es $<x,y>\le \|x\|\|y\|$ En el caso de (10.26), necesitamos colocar el operador de valor absoluto tanto en el LHS como en el RHS, pero tengo problemas para entender cómo el LHS de (10.26) se convierte en el LHS de (10.27). Muchas gracias.

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PD: el tema completo para los que estén interesados. el teorema en cuestión es el último.

Answer 1

La fórmula (10.26) dice $$\langle (A-\lambda)V_ky,V_ky\rangle = \langle e_k,y\rangle \langle \hat{v}_{k+1},V_ky\rangle$$ Recordando (10.25), el ángulo entre $(A-\lambda)V_ky$ y $V_ky$ es el mismo que el ángulo entre $\hat{v}_{k+1}$ y $V_ky$ (el libro no dice que esto sea fundamental para derivar (10.27)) así que: $$\lVert(A-\lambda)V_ky\rVert \lVert V_ky\rVert = \langle e_k,y\rangle \lVert \hat{v}_{k+1}\rVert\lVert V_ky\rVert$$ Para Cauchy-Schwartz aplicado a la primera parte de la rhs $$\langle e_k,y\rangle \le \lVert y\rVert$$

En cuanto a la lhs, recuerda que la 2-norma de una matriz simétrica de valor real $A$ es $$\lVert A\rVert=\max\limits_i \lvert \lambda_i\rvert$$ La norma 2 de su inversa, cuando A es no singular, es entonces $$\lVert A^{-1}\rVert=1/\min\limits_i \lvert \lambda_i\rvert$$ Así es (se trata de una importante fórmula vinculante, no mencionada en el libro, reordenada para nuestro propósito) $$\frac{\lVert(A-\lambda) V_ky\lVert}{\lVert V_ky\rVert} = \frac{\lVert(A-\lambda) V_ky\lVert}{\lVert (A-\lambda)^{-1}(A-\lambda)V_ky\rVert} \ge \frac{\lVert(A-\lambda) V_ky\lVert}{\lVert (A-\lambda)^{-1}\rVert\lVert(A-\lambda)V_ky\rVert} = \min\limits_i \lvert \lambda_i-\lambda\rvert$$ Ahora se deduce (10.27), es decir $$\min\limits_i \lvert \lambda_i-\lambda\rvert \lVert V_ky\rVert^2 \le \lVert y\rVert \lVert \hat{v}_{k+1}\rVert\lVert V_ky\rVert$$

Hágame saber si necesita alguna otra explicación. Y no te preocupes, no reclamaré la recompensa de 500 de reputación válida cuando respondí por primera vez.

Answer 2

Creo que se trata de una errata y que el autor quería utilizar $\max$ en lugar de $\min$ .

$$\sum_\limits{i=1}^m (\lambda_i-\lambda)\vert P_i(V_ky)\vert^2$$ $$\le \sum_\limits{i=1}^m \vert(\lambda_i-\lambda)\vert\vert P_i(V_ky)\vert^2$$ $$\le \sum_\limits{i=1}^m\max\vert\lambda_i-\lambda\vert\vert P_i(V_ky)\vert^2$$ $$= \max_\limits{1\le i \le m}\vert\lambda_i-\lambda\vert\sum_\limits{i=1}^m\vert P_i(V_ky)\vert^2$$ $$\le \max_\limits{1\le i \le m}\vert\lambda_i-\lambda\vert\lVert V_ky\rVert^2$$

Esto funciona sin esfuerzo, y cualquier versión con $\min$ parece ser falso.