¿Modelar números con vectores de vectores?

Question

Me encontré con la extraña representación de los enteros donde $$8=\langle\langle0,\langle0^{\infty}\rangle,0^{\infty}\rangle,0^{\infty}\rangle$$

Intentaré explicar la representación de forma natural. Lo que me pregunto -- como es común -- ¿tiene esta idea un nombre? ¿Está bien estudiada? ¿Es útil? Desde luego, es divertido jugar con ella.

$\textbf{Explanation}$

Naturalmente, todos los números naturales pueden representarse como su descomposición en primos. $$1=2^03^05^0... \quad\quad 2=2^13^05^0... \quad\quad 3=2^03^15^0...$$ $$...$$ $$12=2^23^15^07^0... \quad\quad 13=2^03^05^07^011^013^117^0... \quad\quad 14=2^13^05^07^111^0...$$ $$\text{and so forth...}$$

Se podría utilizar fácilmente para representar los enteros como vectores infinitos. El $n$ corresponde a la potencia del $n$ en una determinada descomposición de primos. $$1=\langle0^\infty\rangle \quad\quad 2=\langle1,0^\infty\rangle \quad\quad3=\langle0,1,0^\infty\rangle$$ $$...$$ $$12=\langle2,1,0^\infty\rangle \quad\quad 13=\langle0,0,0,0,0,1,0^\infty\rangle \quad\quad 14=\langle1,0,0,1,0^\infty\rangle$$ $$\text{and so forth...}$$

Para dar un paso más, se podría sustituir la representación vectorial de un número allí donde ese mismo número aparezca en otro vector. Es decir, $$2 \rightarrow \langle1,0^\infty\rangle \rightarrow \langle\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle$$ $$\text{or}$$ $$8 \rightarrow \langle3, 0^\infty\rangle \rightarrow \langle\langle0,1,0^\infty\rangle, 0^\infty\rangle \rightarrow \langle\langle0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle$$ Esto corresponde al hecho de que $$8=2^33^05^0...=2^{(2^03^15^0...)}3^05^0...=2^{(2^03^{(2^03^05^0...)}5^0...)}3^05^0...$$

Ahora todos los números naturales se pueden representar con paréntesis y ceros $$0 = 0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ 5 = \langle0,0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ $$ $$1 = \langle0^\infty\rangle \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ 6 = \langle\langle0^\infty\rangle,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ $$ $$2 = \langle\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle \quad\quad\quad\quad\quad 7 = \langle0,0,0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ $$ $$3 = \langle0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle \quad\quad\quad\quad\ 8 = \langle\langle0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$4 = \langle\langle\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle \quad\quad\quad 9 = \langle0,\langle\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ He estado llamando a estas cosas números "corpóreos" ya que me recuerdan a los números surrealistas de Conway. Añadiré más abajo cualquier información extra sobre estos tipos que aparezca.

$\textbf{Defenitions}$

$\textbf{Edit}$ : Estos han sido reescritos algunas veces debido a nuevos conocimientos y a las buenas sugerencias de otros -- como https://math.stackexchange.com/q/2356029

El conjunto de números corpóreos puede definirse con la notación de construcción de conjuntos $$\mathbb{C}_{\text{orporeal}}=\{ \langle v_1, v_2, v_3, ...\rangle : v_i \in \mathbb{C}_{\text{orporeal}} \}$$

También haremos una notación para saltar de un lado a otro entre los números reales y los números corpóreos. $$ [\ ]:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}_\text{orporeal} \quad \text{Brackets go from Real to corporeal} $$ $$ \text{Re}: \mathbb{C}_\text{orporeal}\supseteq X \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{Re() goes from some corporeals to Real} $$ Así, por ejemplo $$ \text{Re}(\langle\langle0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle) = 8 \quad\text{and}\quad [8] = \langle\langle0,\langle0^\infty\rangle,0^\infty\rangle,0^\infty\rangle $$ Tenga en cuenta que Re() sólo se define para $\textit{some}$ de los números corpóreos porque algunos no corresponden a ningún número Real. Llegaremos a esos números corpóreos más adelante.

$$\bullet\textbf{ Axioms }\bullet$$

Existe una adición $$ 1)\quad \text{If } \alpha \text{ and } \beta \text{ are corporeal numbers, then so is } \alpha + \beta$$

La multiplicación es una suma de elementos $$2)\quad \text{If } \alpha = \langle ...a_i...\rangle \text{ and } \beta = \langle ...b_i...\rangle \text{ then }$$ $$\alpha \cdot \beta = \langle ... (a_i + b_i) ... \rangle$$

Hay un número corpóreo para cada número real. $$3)\quad \text{If } x \in \mathbb{R} \text{ then } [x] \text{ exists and } [x] \in \mathbb{C}_\text{orporeal}$$

Números corpóreos modelo de descomposición primaria $$4)\quad \text{If } x = 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}11^{a_5}... \text{ then}$$ $$[x]=\langle [a_1],[a_2],[a_3],[a_4],[a_5],...\rangle$$

Los números corpóreos mantienen la estructura de la suma y la multiplicación en los números reales. $$5)\quad \text{For } a,b \in \mathbb{R} \quad : \quad [a] + [b] = [a+b] \text{ and } [a]\cdot[b] = [ab]$$

$\textbf{Non-Real numbers}$

Podemos demostrar que hay algunos números corpóreos que no corresponden a ningún número Real.

El primero es $\omega$ que llamaremos un cero duro porque $\omega + [x] = \omega$ . Aquí está el motivo de su existencia $$\text{The corporeal number }[0] \text{ exists and contains other corporeal numbers}$$ $$\text{so suppose } [0] = \langle\omega,\omega,\omega,...\rangle$$ $$\text{now we make use of how multiplication was defined}$$ $$ [0]\cdot[n] = [0]$$ $$\Downarrow$$ $$\langle...,\omega,...\rangle\cdot\langle ...,[a_i],...\rangle=\langle...(\omega + [a_i]) ... \rangle = \langle ...,\omega,...\rangle$$ $$\Downarrow$$ $$\text{For any } a_i \in \mathbb{R} \text{ if follows that } \omega + [a_i] = \omega$$

El siguiente número es $\zeta$ que corresponde a un número imaginario. Tiene la propiedad de que $$\text{for some Real number -- say } n \quad : \quad n^\zeta = [-1]$$ $$\text{To see why, first note that } [-1] \text{ exists and must contain at least one non-Real element}$$ $$\text{ accordingly we say that } [-1] = \langle 0,...,0,\zeta,0,...\rangle$$ $$\text{ and we make use of how multiplication was defined again}$$ $$[-1]\cdot[-1]=[1]$$ $$\Downarrow$$ $$\langle [0],...,[0],\zeta,[0],...\rangle \cdot \langle [0],...,[0],\zeta,[0],...\rangle$$ $$||$$ $$\langle [0],...,[0],(\zeta + \zeta),[0],...\rangle$$ $$||$$ $$\langle [0],[0],[0],...\rangle$$ $$\Downarrow$$ $$\zeta + \zeta =[0]$$ Los axiomas de los números corpóreos no son lo suficientemente fuertes como para concluir desde aquí que $\zeta = 0$ . Lo hicimos a propósito. Si $\zeta$ era de hecho $0$ entonces todos los números corpóreos serían iguales como consecuencia. Y un sistema numérico donde todos los números son iguales es inútil.

La explicación es que $\zeta$ puede corresponder a múltiples valores en los números complejos. La conclusión $\zeta + \zeta =[0]$ -- se puede satisfacer eligiendo cualquier valor complejo y su conjugado para la izquierda y la derecha $\zeta$ respectivamente.

$\textbf{So what is Pi?}$

Hay un sentido en el que el producto de todos los números primos es $4\pi^2$ https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-007-0350-z

En consecuencia, diremos que $$[4\pi^2]=\langle[1]^\infty\rangle \quad\Leftrightarrow\quad [\pi]=\Big\langle[-1]\cdot\Big[\frac{1}{2}\Big],\Big[\frac{1}{2}\Big]^\infty\Big\rangle = \langle[-1]\cdot\langle[-1],[0]^\infty\rangle,\langle[-1],[0]^\infty\rangle^\infty\rangle$$

Pero éste no es el único sentido en el que se puede definir pi. Euler descubrió que

$$\frac π 4 = \frac 3 4 \cdot \frac 5 4 \cdot \frac 7 8 \cdot \frac {11} {12} \cdot \frac {13} {12} \cdots$$

donde los numeradores son los números primos a partir de $3$ y los denominadores son los múltiplos de $4$ más cercano al primo correspondiente. (Ver: https://mathoverflow.net/q/137346 y http://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html [forumla 33])

En consecuencia,

$$[\pi]=\langle \sum_{}^{\infty} [-2],[1] - \alpha_1,[1]-\alpha_2,[1]-\alpha_3,...\rangle$$

Donde cada $\alpha_i$ puede ser, por lo que sé, finito o infinito.

Answer 1

Tu estructura tiene grandes problemas cuando intentas implementar inversiones aditivas $[-n]$ para $n\in\Bbb N$ con algunas propiedades razonables. Por ejemplo, utilizando la suposición natural $[-1]\cdot[-1]=[1]$ llevará a una contradicción. Supongamos una representación

$$[-1]=\langle a_0,a_1,...\rangle.$$

La suposición nos dice entonces que $a_i+a_i=0$ . Debido a la distributividad, esto es equivalente a $[2]a_i=0$ . Asumiendo la representación adicional $a_i=\langle b_0^i,b_1^i,...\rangle$ podemos deducir que

$$0=[2]a_i=\langle b_0^i+1,b_1^i,...\rangle\quad\Rightarrow\quad b_0^i+1=\omega,\quad b_j^i=\omega,j>1.$$

Esto significa que $a_i=\langle b_0^i,\omega^\infty\rangle$ por unos extraños números corpóreos $b_0^i$ con $b_0^i+1=\omega$ . Pero ahora ves

$$b_0^i=b_0^i+[0]=b_0^i+([1]+[-1])=(b_0^i+[1])+[-1]=\omega+[-1]=\omega.$$

Esto significa que realmente $a_i=\langle\omega^\infty\rangle=0$ y por lo tanto $[-1]=[1]$ . Esto es ciertamente indeseable. Y lo que es peor, como $[-1]$ por definición satisface $[1]+[-1]=[0]$ , acabamos de demostrar $[2]=[0]$ . Esto es una contradicción.

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¿Y ahora qué? No parece que tenga inversos aditivos con algún comportamiento natural. Para implementar las inversiones mutliplicativas necesitas inversiones aditivas. Y para implementar $[\pi]$ y otros números reales ciertamente necesitas uno de los anteriores como ya has demostrado.

En realidad, la existencia de este extraño "cero duro" absorbente $\omega$ me deja perplejo. Tengo la sensación de que la estructura podría comportarse mucho mejor si permitimos que los números corpóreos sean también secuencias finitas y definamos $[0]:=\langle\rangle$ .

Answer 2

Esta es una respuesta a la pregunta tal y como se planteó inicialmente. Allí parecía que $\def\corpo{\Bbb C_{\text{orpo}}}\corpo$ debe extender los números naturales $\Bbb N$ de una manera determinada. Entre otras cosas, asumo la suma y la multiplicación de $\corpo$ sea distributiva (el antiguo axioma 4).

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Pensé que un montón sobre esta interesante construcción y he encontrado una formulación puramente algebraica que quizás te interese. Ten en cuenta que no puedes utilizar la notación del constructor de conjuntos de la forma en que lo hiciste: no puedes utilizar el conjunto definido dentro de las llaves del lado derecho. Podrías encontrarte con problemas fundacionales con un enfoque demasiado ingenuo. Así que, si no podemos construir directamente los corpóreos de esta manera, al menos podemos declarar (de forma algebraica) lo que queremos que sean.

En los números naturales tenemos el siguiente tipo de factorización prima: si $n\in\Bbb N\setminus\{0\}$ y $p_i$ es el $i$ -número primo, entonces hay un único $k_i\in\Bbb N$ (sólo un número finito de ellas es distinto de cero) de modo que

$$n=\prod_i p_i^{k_i}.$$

Ahora es natural ampliarlo de varias maneras:

• Queremos permitir un número infinito de números distintos de cero $k_i$ es decir, números con infinitos factores primos diferentes.
• Queremos tener exponentes no sólo de $\Bbb N$ pero desde un espacio apropiado más general $R$ . Sería excepcionalmente bueno que los exponentes vinieran del mismo espacio que el que estamos definiendo actualmente.
• No queremos tener $0$ como excepción, pero también queremos que tenga una factorización única.

Ahora déjame mostrarte cómo expresar el hecho de que $\Bbb N$ permite una factorización primaria única de forma algebraica. Primero hay que tener en cuenta que $(\Bbb N,+,\cdot)$ es un sembrar es decir, tiene adición asociativa y conmutativa con $0$ ; multiplicación asociativa y distributiva con $1$ ; $0$ es multiplicativamente absorbente. La existencia de una factorización primaria ahora es equivalente a la existencia de un isomorfismo específico $\varphi$ entre la estructura aditiva y multiplicativa de $\Bbb N$ . Más precisamente, queremos un isomorfismo monoide

$$\varphi :(\Bbb N\setminus\{0\},\cdot) \leftrightarrow (\Bbb N^{\Bbb N}_{\text{fin}},+).$$

Aquí, $(\Bbb N\setminus\{0\},\cdot)$ es el monoide multiplicativo de $\Bbb N\setminus\{0\}$ (sólo la multiplicación asociativa con $1$ ). $\Bbb N^{\Bbb N}_{\text{fin}}$ es el conjunto de todas las secuencias de números naturales con sólo un número finito de entradas distintas de cero. Junto con la adición por componentes, esto dará un monoide aditivo. Esto puede parecer extraño al principio, pero no es más que su $\langle\cdot\rangle$ notación disfrazada. Por ejemplo, si $n\in\Bbb N$ con factores primos $p_i^{k_i}$ entonces

$$n=\langle k_0,k_1,...\rangle=\prod_ip_i^{k_i} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \varphi(n)=(k_0,k_1,...).$$

En otras palabras $\varphi(\langle k_0,k_1,...\rangle)=(k_0,k_1,...)$ .

Entonces, ¿por qué escribo esto tan complicado como un isomorfismo? En principio, los isomorfismos son preservadores de la estructura, es decir $\varphi(n\cdot m)=\varphi(n)+\varphi(m)$ . Esto se parece a su antiguo axioma de adición por componentes 3. Por otra parte, los isomorfismos son biyectivos, por lo que esto refleja el hecho de que una factorización primaria es única, y que cualquier factorización primaria posible nos da un único número natural. Todo esto está empaquetado en sólo unas pocas palabras y ahora se puede aplicar todo el poder del álgebra abstracta para deducir y generalizar.

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Ahora vamos a ver dónde se pueden colocar sus corpóreos aquí. Estamos buscando un $\Bbb N$ -semirremolque extensible $(R,+,\cdot)$ con una conexión aún más fuerte entre la estructura aditiva y la multiplicativa, es decir, afirmamos la existencia de un isomorfismo monoide

$$\varphi:(R,\cdot)\leftrightarrow(R^{\Bbb N},+).$$

Tenga en cuenta lo siguiente:

• Hemos utilizado $R$ en lugar de $R\setminus\{0\}$ a la izquierda, por lo que esperamos que también el cero $0$ tiene una factorización primaria única.
• Hemos eliminado el $\text{fin}$ desde el lado derecho, por lo que permitimos una factorización de un número $n\in R$ para contener infinitos primos diferentes.
• Hemos utilizado $R$ a la derecha en lugar de sólo $\Bbb N$ por lo que nuestros exponentes pueden ser todos los números de este espacio recién definido. Esto dota automáticamente a nuestro espacio de una operación de exponenciación.

La pregunta ahora es si existe tal semirremolque. Si existe, podemos llamarlo $\corpo$ y tomar $\Bbb N$ como un subseminario específico. En realidad, usted reclamó una cosa más para $\corpo$ para sostener. La definición anterior dice que cualquier número $n\in R$ tiene una única factorización prima con exponentes en $R$ . Pero nunca hemos dicho cuáles son esos primos. Si queremos específicamente que los primos sean los números primos de $\Bbb N$ entonces tenemos que incluir el siguiente axioma adicional: Para $p_i\in\Bbb N$ siendo el $i$ -número primo, afirmamos que

$$\varphi(p_i)=(\overbrace{0,...,0}^{i-1},1,0,0,...).$$

Esto hace que $\varphi(p_i)$ un sistema de generación de $(\corpo^{\Bbb N},+)$ . Si no afirmamos esto, podría ocurrir que los antiguos números primos ya no sean primos en el espacio ampliado, sino que ahora sean compuestos de nuevos y extraños primos corpóreos. Entonces no podemos estar seguros de que, por ejemplo $\varphi(2)=(1,0,0,...)$ . Así que lo reclamamos por conveniencia.

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Estas son algunas de las primeras observaciones. Empecemos por la cardinalidad de $\corpo$ . Como los isomorfismos son biyectivos, esto significa que $\corpo$ y $\corpo^{\Bbb N}$ son de la misma cardinalidad. Pero tenemos

$$|\Bbb N|^{|\Bbb N|}=|\Bbb R|\qquad \text{but}\qquad |\Bbb R|^{|\Bbb N|}=|\Bbb R|.$$

Por lo tanto, vemos que $\corpo$ debe ser incontable. Y esto no se debe a que contenga representaciones de todos los números reales (puedes ver que no lo hace en mi otra respuesta), sino sólo de los enteros generalizados. Esto significa que sí contiene muchos números no naturales.

Nunca he mencionado tu "duro-cero" $\omega$ hasta ahora. Esto se debe a que su existencia se desprende naturalmente del hecho de que necesitamos una factorización prima de $0$ . Como $0$ es multiplicativamente absorbente, la existencia de $\varphi$ implemente la existencia de un elemento absorbente aditivo $\omega$ y

$$\varphi(0)=(\omega,\omega,...).$$

Answer 3

Configuración inicial

En aras de la brevedad, utilizaré $\mathbb{K}$ para los números corpóreos. Quieres algo como $\mathbb{K}=\left\{ \left\langle v_{1},v_{2},\ldots\right\rangle :v_{i}\in\mathbb{K}\right\}$ . Ahora bien, hay una pequeña objeción a la teoría de conjuntos sobre la recursividad, pero hay soluciones estándar para hacer que esto sea sensato. Excepto necesitas un punto de partida. Al principio, parece que $\left[0\right]$ es una especie de corpóreo atómico, por lo que podemos lanzarlo: $\mathbb{K}=\left\{ \left[0\right]\right\} \cup\left\{ \left\langle v_{1},v_{2},\ldots\right\rangle :v_{i}\in\mathbb{K}\right\}$ . Entonces puedes construir $\left[1\right]$ de $\left[0\right]$ y luego todos los primos, y luego todos los números cuyos exponentes de los primos son primos, y luego... Para ser general y no ambiguo, escribiré $\left[0\right]^{\omega}$ donde el OP tendría $0^{\infty}$ . Como M. Invierno mencionado parece impar suponer que $0$ es una secuencia y hay algo aún más fundamental como lo que el OP llamó $\omega$ .

Ahora bien, como las representaciones corpóreas (estándar) de los enteros positivos se construyen a partir de sus descomposiciones primarias, lo que está relacionado con su estructura multiplicativa, la definición natural de la multiplicación en $\mathbb{K}$ se presenta como lo describe el OP: $0\cdot\beta=\alpha\cdot0=0$ y $\left\langle a_{1},a_{2},\ldots\right\rangle \cdot\left\langle b_{1},b_{2},\ldots\right\rangle =\left\langle a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots\right\rangle$ .

Reflexiones sobre las sumas

El problema es construir una definición de suma que coincida con la estándar. Incluso para sumas como $\left[1\right]+\left[1\right]+\left[1\right]+\left[1\right]+\left[1\right]+\left[1\right]$ tenemos que utilizar nuestros conocimientos de aritmética de números enteros para encontrar la factorización en primos de los números $1$ a través de $6$ para calcularlo (que no se generalizaría a los nuevos corpóreos), o necesitamos un método para manipular cosas como $\left\langle \left[0\right],\left[0\right],\left\langle \left[0\right]^{\omega}\right\rangle ,\left[0\right]^{\omega}\right\rangle$ que equivale a hornear un algoritmo para la factorización de primos. Pero como la factorización de primos es un algoritmo bastante complicado incluso con representaciones normales de los números, soy pesimista en cuanto a que esto se pueda hacer de una manera que sea fácil de escribir y generalizar. Esto es especialmente difícil porque la notación parece saber cuáles son los primos, pero un algoritmo de factorización de primos probablemente no podría hacer uso de eso directamente. Ahora bien, al factorizar los factores comunes y afirmar que la multiplicación se distribuye sobre la suma podemos reducir el problema a sólo "¿cómo sumamos dos números coprimos?" (o al menos "cómo sumamos dos números que no tienen ninguna potencia prima igual excepto $p^{0}$ ?"?), pero encontrar la factorización prima de la suma de dos números coprimos (incluso con factorizaciones primas conocidas) tampoco tiene una respuesta ordenada.

Dejando a un lado ese espinoso asunto, podemos simplemente asumir como hace el OP que $\left[n\right]+\left[m\right]=\left[n+m\right]$ para los naturales $n$ y $m$ por decreto, y mira lo que sigue de eso, aunque no sepamos cómo añadir otros corpóreos. Podríamos multiplicar dos corpóreos cualesquiera correspondientes a secuencias de naturales (como $\left\langle \left[1\right]^{\omega}\right\rangle$ o $\left\langle \left[0\right],\left[1\right],\left[2\right],\ldots\right\rangle$ ), pero sin una definición general de suma (¡o de orden!), ni siquiera sabríamos si una de ellas es igual a $-\left[1\right]$ u otro estaban entre $\left[39\right]$ y $\left[40\right]$ (así que en el entorno de $4\pi^{2}$ ).

¿Negativos?

Ahora, si tuviéramos $\nu=\left\langle v_{1},v_{2},\ldots\right\rangle =-\left[1\right]$ Entonces nos encontramos con problemas como M. Winter argumentó . Esperamos que $\nu\cdot\nu=\left[1\right]=\left\langle \left[0\right]^{\omega}\right\rangle$ . Así que debe ser $v_{1}+v_{1}=\left[0\right]$ con $v_{1}\ne0$ . Así que $\left[2\right]v_{1}=\left[0\right]$ y si $v_{1}=\left\langle w_{1},\ldots\right\rangle$ (para evitar $v_{1}=\left[0\right]$ ), tenemos $\left\langle w_{1}+\left[1\right],w_{2},\ldots\right\rangle =\left[0\right]$ . Si los corpóreos tienen representaciones únicas, entonces esto es una contradicción inmediata (si se mantiene el OP's $\omega$ entonces hay que llevar las cosas un poco más lejos como en la respuesta de M. Winter). Esto no debería ser demasiado sorprendente, ya que no se puede representar un número negativo con un producto de primos positivos.

Si sólo construyéramos los enteros con este tipo de representación de descomposición de primos, tendríamos que introducir manualmente un signo negativo. (Y como dijo M. Winter, probablemente preferiríamos permitir secuencias finitas en su lugar). Así que vamos a intentarlo: $\mathbb{K}_{\pm}=\left\{ \left[0\right]\right\} \cup\left\{ \left\langle v_{1},v_{2},\ldots\right\rangle \mid v_{i}\in\mathbb{K}_{\pm}\right\} \cup\left\{ -\left\langle v_{1},v_{2},\ldots\right\rangle \mid v_{i}\in\mathbb{K}_{\pm}\right\}$ donde el signo menos no distribuye; es sólo un símbolo formal. Entonces podemos escribir $-\left\langle \left[0\right]^{\omega}\right\rangle$ y declarar cosas como $-\alpha+\alpha=\left[0\right]$ (para que $\left[-1\right]=-\left[1\right]$ etc.). Esto nos permite hacer cosas interesantes como $\left[\dfrac{1}{2}\right]=\left\langle -\left[1\right],\left[0\right]^{\omega}\right\rangle$ donde sabemos que es razonable llamarlo $\dfrac{1}{2}$ ya que el producto con $\left[2\right]$ sería $\left[1\right]$ por la definición de multiplicación. Esto nos da artificialmente todos los racionales, además de cosas como $\dfrac{1}{\boldsymbol{1}}=\left\langle \left[-1\right]^{\omega}\right\rangle$ que puede o no tener razón de ser llamado $\left[\dfrac{1}{4\pi^{2}}\right]$ . Mi esperanza sería que pudiéramos conseguir todos los reales con este tipo de construcción y hechos sobre las interpretaciones sobre los productos infinitos como $\boldsymbol{1}$ pero realmente no lo sé con certeza sin una adición razonable (que podría darnos un orden si pudiéramos decir algo como $\alpha<\beta$ si $\beta+\left(-\alpha\right)$ puede escribirse como $\left\langle ...\right\rangle$ sin el signo menos delante).

¿Algo similar?

Has mencionado que esto te recordaba a los surreales, y me hace pensar en dos ideas vagamente relacionadas.

Expansiones de signo de los surreales

Los propios surreales pueden representarse como "secuencias" con signos mediante Ampliación del cartel de Gonshor pero pueden ser finitos o más largos que \omega. Tenemos cosas como $\left\langle \right\rangle =0$ , $\left\langle +\right\rangle =1$ , $\left\langle -\right\rangle =-1$ , $\left\langle ++\right\rangle =2$ , $\left\langle +-\right\rangle =\dfrac{1}{2}$ , $\left\langle ++-+-+-\cdots\right\rangle =1+\dfrac{2}{3}$ etc.

El campo de la madera

Lo que pasa con los surreales es que tienen estos signos, o un lado izquierdo y otro derecho, etc. Pero, ¿qué pasaría si prescindimos de eso y nos limitamos a decir que "un nimbo es un conjunto de nimbos previamente creados" (y hacemos que algunos conjuntos sean equivalentes a otros, de modo que los conjuntos que nos importan son básicamente los ordinales)? Algo así como $0=\left\{ \right\}$ , $1=\left\{ 0\right\}$ ,... Entonces podemos sumar, multiplicar, restar y dividir, encontrar raíces de polinomios, etc. de una manera bastante natural. Por desgracia, no es un campo ordenado. $1+1=0$ , no " $2$ "= $\left\{ 0,1\right\}$ como se podría esperar. Pero todavía se puede hablar de infinitas cosas como " $\omega$ "= $\left\{ 0,1,\left\{ 0,1\right\} ,\left\{ 0,1,\left\{ 0,1\right\} \right\} ,\ldots\right\}$ .