Expandir $(4+i)(5+3i)$ y el espectáculo $\pi/4=\arctan{1/4}+\arctan{3/5}$

Question

No recuerdo jamás haber hecho esto antes, así que si alguien puede ayudarme sería genial. La pregunta es expandir $(4+i)(5+3i)$ y, por tanto, mostrar que $\pi/4=\arctan{1/4}+\arctan{3/5}$.

Expansión: $$(4+i)(5+3i)=20+17i-3=17(1+i)=17\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}.$$

Pero no veo cómo esto me demuestra nada acerca de $\arctan$. Los punteros se agradece. :)

Answer 1

SUGERENCIA:

Sabemos $\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)$ si $0\le \arg(z_1)+\arg(z_2)\le\frac\pi2$

Ahora,

$\arg(17+17i)=\arctan\frac{17}{17}=\arctan1=\frac\pi4$ como el Principal valor de $\arctan$ se encuentra en $\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$

$\arg(4+i)=\arctan\frac14<\arctan1=\frac\pi4$ $\arg(5+3i)=\arctan\frac35<\arctan1=\frac\pi4$

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Como alternativa, desde la Página$276$% de esta,

$$\arctan a+\arctan b=\arctan \left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\text{ if }ab<1$$

Aquí $a=\frac14,b=\frac35\implies ab=\frac14\cdot\frac35<1$

Answer 2

Si escribimos un número complejo en sus diversas formas$$a+bi=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta$$ we see that $\tan\theta=\cfrac ba$ so that $\theta=\arctan\cfrac ba$

Así que, si $$(a+ib)(c+id)=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e+if$$ we have $$\arctan \frac fe=\theta_1+\theta_2=\arctan \frac ba+\arctan\frac dc$$

Sólo tenemos que tomar un poco de cuidado para trabajar de forma compatible con los ángulos y arctg función - esto no es un problema si nos quedamos en el primer cuadrante. En otros casos podemos terminar el trabajo con un valor distinto del valor del capital.