Estoy tratando de entender Nakayama del lexema. Parece que algunos "teorema de punto fijo". El uso de Nakayama, el lema , que fácilmente se puede resolver la siguiente pregunta. Quiero otra prueba. Gracias.
Deje $A$ ser un anillo conmutativo con identidad, $I$ ser un finitely generado ideal de $A$, de tal manera que $I^2=I$. Mostrar que existe un elemento $e\in I$$e^2=e$$eA=I$.
Usted puede usar cualquier cosa (interpretación geométrica son bienvenidos), excepto Nakayama del Lexema.
La siguiente prueba se utiliza el "Cayley-Hamilton truco":
Deje $x_1,\cdots,x_n$ generar $I$ $A$- módulo. Desde $I=I^2$, podemos escribir: $x_i=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}x_j$ $1\leq i\leq n$ $a_{ij}\in I$ para todos los $1\leq i\leq n$, $1\leq j\leq n$. En particular, la matriz de $M=[\delta_{ij}-a_{ij}]_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$ ($\delta_{ij}$ denota la delta de Kronecker) aniquila el vector columna $x=[x_j]_{1\leq j\leq n}$. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación de matriz $Mx=0$ por la clásica adjunto de $M$, obtenemos un elemento de la forma $1-e$ $e\in I$ (el determinante de a $M$) que aniquila a todos los $x_i$. Por lo tanto $(1-e)I=0$. Claramente, esto implica que $I=eA$$e^2=e$.
Lo que sigue es parcialmente extraído de mi Historia Matematica post de 2005.01.04 sobre este tema, en respuesta a las preguntas por Colin McLarty y Martin Davis.
El Lema de abajo es de Gilmer del 1970 Mensual Aula Nota[1]. Gilmer menciona que también se presenta en la página. 58 de su libro de texto[2].$\:$
LEMA $\ $ Si $\rm\:B\:$ es un finitely generado idempotente ideal de un conmutativa anillo de $\rm\:T\:$ $\rm\:B\:$ es el principal y es generado por un elemento idempotente.
Prueba de $\ $ Primer asumir que $\rm\:T\:$ tiene una identidad y deje $\rm\:\{b_{\:i}\:\}\:$ ser un conjunto finito de generadores para$\rm\:B\:.\:$$\rm\:B = B^2 = \sum\: B\ b_{\:i}\:$, de modo que obtenemos un sistema de ecuaciones $\rm\ b_k = \sum s_{\:k\:i}\ b_{\:i}\:,\ $ donde $\rm\:s_{\:k\:i} \in B\:.\ $ Esto produce un sistema de ecuaciones $\rm\ \sum\ (\delta_{\:k\:i}-s_{\:k\:i})\ b_{\:i} = 0\:,\:$ donde $\delta =$ delta de Kronecker.
Por la regla de Cramer $\rm\:d\ b_i = 0\:$ todos los $\rm\:i\:,\:$ donde $\rm\ d = \det [\delta_{ki}-s_{ki}]\:.\ $ es fácil ver que $\rm\:d\:$ tiene la forma $\rm\: 1-b\: $ algunos $\rm\:b \in B\:.\ $ $\rm\ 0 = d\ b_i = b_i - b\ b_i\ $ todos los $\rm\:i\:,\:$ implica $\rm\: B\: $ es el principal ideal generado por a $\rm\:b\:.\ $ Y desde $\rm\ 1-b\ $ mata a $\rm\:B\:,\:$ llegamos a la conclusión de $\rm\ (1-b)\ b = 0\:,\ $ o $\rm\ b = b^2\:.$
Si $\rm\:T\:$ no contiene ningún elemento de identidad, consideramos un anillo conmutativo $\rm\:T'\:$ obtenido por contigua a un elemento de identidad a $\rm\:T\:.\ $ $\rm\:B\:$ es un finitely generado idempotente ideal de $\rm\:T',\:$, y por lo tanto de capital, como un ideal de a $\rm\:T',\:$ generado por un elemento idempotente $\rm\:v\:.\ $ Desde $\rm\:T'$ es obtenido por contigua a un elemento de identidad a $\rm\:T\:,\:$ es de la siguiente manera $\rm\:v\:$ también genera $\rm\:B\:$ como un ideal de a $\rm\:T\:.\quad$ QED
COMENTARIO $\ $ El uso de la regla de Cramer en Gilmer la prueba es simplemente un especial el caso de la deducción de una ecuación integral de la dependencia en un ideal (vs anillo), por ejemplo, ver Kaplansky, Conmutativa Anillos, p.11 lo sufi.1. o ver a su posterior Teorema 75, viz.
TEOREMA $\rm\ 75.\ \ $ Deje $\rm\:R\:$ ser un anillo, $\rm\:J\:$ un ideal en $\rm\:R,\ B\:$ $\rm\:R$- módulo generado por $\rm\:n\:$ elementos,$\ \ $ $\rm\:r\:$ un elemento de $\rm\:R\:$ satisfacción $\rm\ r\:B \subset JB\:.\ $ $\rm\ (r^n - j)\ B = 0\ $ algunos $\rm\ j \in J\:.$
El deseado prueba ahora sigue inmediatamente, a saber:
Se especializa $\rm\ r=1,\ B=J\ $ rendimientos $\rm\ (1-j)\ J = 0\ \Rightarrow\ J = (j),\ \ j^2 = j\:.\quad$ QED
Tenga en cuenta que esto puede ser visto como una generalización de la más simple de dominio de Dedekind caso.
La anterior prueba no funciona en el caso no conmutativa debido a que el determinante truco ya no se aplica. Sin embargo uno puede demostrar el Teorema de 75 sin el uso de determinantes por en lugar de apelar a Nakayama del Lexema. Es decir, ver los Ejercicios 3.1, 3.2, p.43 en Atiyah y Macdonald, Introducción al Álgebra Conmutativa.
[1] Robert Gilmer, Un Teorema de Existencia para No Noetherian Anillos
(en el Aula de Notas),
La American Mathematical Monthly, Vol. 77, Nº 6, 1970, pp 621-623.
[2] Robert Gilmer, Multiplicativo Ideal De La Teoría,
Queens University, Kingston, Ontario, 1968. Ver p.58
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