Obviamente si $f$ es una unidad, $g$ es una unidad, y viceversa. También, $r=1$ iff la incorporación de la dimensión de $k[[x,y]]/(f)$ $1$ iff la incorporación de la dimensión de $k[[x,y]]/(g)$ $1$ fib $s=1$.
Así, podemos suponer que tanto $r$ $s$ son mayores de $2$, $f,g \in \mathfrak{m}^2$ donde $\mathfrak{m}$ denota el ideal maximal $(x,y)$. Desde $f,g \in \mathfrak{m}^2$, podemos levantar este isomorfismo a un $k$-álgebra automorphism $\phi$ $k[[x,y]]$ asignación de $(f)$$(g)$. No es obvio que esto es posible, pero es que sigue del teorema en la página 8 de estas notas de Hochster en el local completo de los anillos.
Para ser precisos, decir $\psi$ $k$- álgebra isomorfismo entre el $k[[x,y]]/(f)$ y $k[[x,y]]/(g)$. $\psi(x)$ y $\psi(y)$ generar el máximo ideal de la $k[[x,y]]/(g)$. Así, desde la $g \in \mathfrak{m}^2$, $\psi(x)$ $\psi(y)$ generar $\mathfrak{m}/(g) / \mathfrak{m}^2/(g) \cong \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$. Esto significa $\psi(x)$ $\psi(y)$ levantar a los generadores de $\mathfrak{m}$ $k[[x,y]]$ (NAK).
La aplicación de las partes (b) y (c) del Teorema en la página 8 de Hochster notas, se deduce que el $\psi$ levanta a una $k$-álgebra automorphism $\phi$$k[[x,y]]$. Sabemos $\phi$ mapas de $f$ a un generador de $(g)$, ya que el $\phi((f))=(g)$. Así que, después de multiplicar $\phi$ por una unidad, podemos suponer que $\phi(f)=g$.
$\phi$ está determinado por $\phi(x)$$\phi(y)$; vamos a utilizar el Krull Intersección Teorema de ver esto. El reclamo es que si $x \mapsto p$ $y \mapsto q$ bajo $\phi$, entonces la potencia de la serie $h(x,y)$ $k[[x,y]]$ se debe asignar a $h(p, q)$. Primero de todo, tenga en cuenta que esta composición está bien definido, ya que $p$ $q$ ha $0$ término constante.
Para probar la afirmación, vamos a $h_i(x,y)$ denotar el truncamiento de $h$ $i^{th}$ grado; es decir, $h_i$ es la suma de todos los términos de $h$ que tienen un grado en la mayoría de las $i$. Es claramente el caso de que $\phi(h_i(x,y))=h_i(p,q)$ todos los $i$. Por lo tanto, para cada $i \ge 1$, $\phi(h(x,y))=h_i(p,q) + \text{some element of } \mathfrak{m}^{i+1}$. Esto significa que, para cada una de las $i$,
$$\phi(h(x,y)) - h(p,q)= h_i(p,q) + \text{some element of } \mathfrak{m}^{i+1} - h_i(p,q) + \text{some other element of } \mathfrak{m}^{i+1}$$
$$\in \mathfrak{m}^{i+1}.$$
Por el Krull Intersección Teorema, esto implica que $\phi(h(x,y)) = h(p,q)$.
En particular, se ha $g(x,y)=f(\phi(x), \phi(y))$. Sabemos $\phi(x)$$\phi(y)$$\mathfrak{m}$, por lo que el grado más bajo "pedazo" de $g(x,y)$ no tiene grado menor que el grado más bajo "pedazo" de $f(x,y)$. Por lo tanto, $s \ge r$.
Pero se le puede aplicar el mismo argumento que usa $\phi^{-1}$ que $s \le r$. Por lo tanto, $r=s$.
