¿Por qué una integral impropia de impar no es igual a cero

Question

Mi libro de cálculo dice que la integral de $\frac1x$ no puede pasar de cero. Ahora parece obvio que debido a la simetría, siempre habrá un intervalo cuyas integrales son iguales en magnitud y de signo contrario, por lo que se cancelan, aunque no converjan.

Ahora escribiendo en wolframalpha obtuve "no converge" y sólo en la parte inferior apareció el resultado esperado ( $\ln|b|-\ln|a|$ ) como "valor principal de Cauchy" (CPV, que he buscado en la wikipedia). ¿Por qué esa extravagancia? ¿Tiene esto alguna implicación en algún área de aplicación?

Y además, cuando le pregunto a wolframalpha por la "integral de cos/sin de $0$ a $\frac\pi2$ ", obtengo el infinito (intuitivo, mirando la trama, aunque $\ln|sin(\frac\pi2)|-\ln|sin(0)|$ es ciertamente incorrecto ) como "CPV", pero cuando pido la "integral de cos/sin de $0$ a $\pi$ " que espero que sea cero, porque el gráfico es simétrico/impar obtengo "no converge" y tampoco hay resultado CPV. ¿Por qué?

Answer 1

En cuanto a su pregunta original: dejemos $f(x)$ sea una función impar sobre $\mathbb R$ . Podemos pensar en dos formas diferentes de calcular la integral impropia $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a f(x) dx,$$

o $$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=\lim_{a\to -\infty, b\to\infty}\int_a^b f(x) dx.$$

Desde $f$ es impar, la primera forma da $0$ Esto es lo que se llama valor principal de Cauchy. Sin embargo, la forma correcta de calcular la integral impropia es la segunda. La razón es que queremos (en cierto sentido) tomar el sumo sobre todos los intervalos $[a,b]\subset \mathbb R$ . Y esta forma de calcularla es la razón por la que $f(x)=\dfrac{1}{x}$ (o $f(x)=x$ ) dará integrales divergentes.

Answer 2

El valor principal de Cauchy y otras pseudofunciones son comunes en la teoría de la distribución (no sólo...) y en la física, donde los valores infinitos se eliminan amablemente cuando es posible (se esconden bajo la alfombra con trucos de renormalización si no... ;-)).

En la teoría de las distribuciones siempre podemos intercambiar derivación y límite, todas las derivadas siguen siendo distribuciones, toda distribución admite una primitiva (hasta un global constante) y así sucesivamente... Para que estas reglas (generosas) se mantengan necesitamos funciones tolerantes de modo que la derivada de $\log|x|$ por ejemplo será P.V. $\frac 1x$ y no simplemente $\frac 1x$ (¡la integral de la última no existiría!). Curiosamente la multiplicación se hizo más difícil al multiplicar dos $\delta(x)$ por ejemplo (incluso con las ideas de Colombeau y otros) pero no podemos tener todo...

La teoría de la distribución es muy utilizada en la parte avanzada de la física (con grandes nombres como Sobolev, Gel'fand, Dirac y más tarde Schwartz aportando la respetabilidad matemática) porque permite por ejemplo manejar valores discretos así como espectros continuos de forma unificada pero dejémonos de propaganda y vayamos a su segunda parte...

Respecto a tu "integral de cos/sin de 0 a pi" no evaluada por Alpha. Bueno, parece que el software no consideró la compensación de singularidades en dos puntos finitos (no sé si Alpha maneja compensaciones en $-\infty$ y $+\infty$ pero podría considerarlos como el mismo "punto $\infty=\frac 10$ ). Para la aplicación física tendría que especificar los límites digamos 'de $\epsilon$ a $\pi-\epsilon$ ' como $\epsilon \to 0$ .

Answer 3

En cuanto al problema $$\int_a^b{\frac{1}{x}dx}$$ el teorema fundamental del cálculo exige que la función sea continua en el intervalo $(a, b)$ y mientras $f(x) = \frac{1}{x}$ es continua sobre su dominio (que es $(-\infty, 0)\cup (0, +\infty)$ ), no es continua sobre un intervalo que cruza el 0. Así que la integral se puede encontrar usando CPV.

En cuanto a la integración $\cot(x)$ en el intervalo $(0, \frac{\pi}{2})$ , tenga en cuenta que $\sin{(0)} = 0$ y el dominio de las funciones logarítmicas es estrictamente positivo. Equivalentemente, $$\ln{\left|\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right|} - \ln{|\sin(0)|} = \ln{\left|\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}{\sin{(0})}\right|}$$

que provoca la división por cero, por lo que no se puede utilizar.